27. Теорема единственности

Теорема. Не существует двух различных показательных функций с одним и тем же основанием.

Доказательство. Пусть f и g — показательные функции, причем f(1)=g(1)=a. Нужно доказать, что для любого xf(x)=g(x).

1. Пусть a>1, тогда f(x) и g(x) строго возрастают. Если r — положительное рациональное число

    [r>0, tinmathbb{Q}, r=frac{m}{n} (m,ninmathbb{N}),]

то
по свойству 6) f(r)=g(r)=sqrt[n]{a^m},

по свойству 4) f(0)=g(0)=1.

Если r<0, rinmathbb{Q}, то по свойству 7)

    [f(-r)=g(-r)=frac{1}{f(r)}=frac{1}{g(r)}Rightarrow f(r)=g(r) .]

Тем самым, f(r)=g(r) для любого рационального r.

Пусть x — иррациональное число, xinmathbb{R}setminusmathbb{Q}. Возьмем произвольное ninmathbb{N} и выберем rinmathbb{Q} в промежутке displaystyle left( x-frac{1}{n},xright). Тогда

    [begin{array}{l} displaystyle r<x<r+frac{1}{n},\[4mm] displaystyle f(r)<f(x)<fleft( r+frac{1}{n}right),\[4mm] displaystyle g(r)<g(x)<gleft( r+frac{1}{n}right),\[4mm] displaystyle |f(x)-g(x)|<fleft( r+frac{1}{n}right)-f(r)=f(r)cdot fleft(frac{1}{n}right)-f(r)=f(r)left( fleft(frac{1}{n}right)-1right)=\[4mm] displaystyle =f(r)left(sqrt[n]{a}-1right)=f(r)cdotfrac{a-1}{sqrt[n]{a^{n-1}}+sqrt[n]{a^{n-2}}+ldots+sqrt[n]{a}+1}<\[4mm] displaystyle < f(x)cdotfrac{a-1}{underbrace{1+1+ldots+1}_n}=f(x)cdotfrac{a-1}{n} ,\[4mm] displaystyle 0le |f(x)-g(x)|<frac{f(x)(a-1)}{n}. end{array}]

При nto+infty левая и правая части неравенства стремятся к нулю, следовательно, f(x)=g(x).

2. Пусть 0<a<1. Рассмотрим функции displaystyle f_1(x)=frac{1}{f(x)}, g_1(x)=frac{1}{g(x)}. Докажем, что f_1 и g_1 — показательные функции.

1) Пусть x_1>x_2. Тогда 0<f(x_1)<f(x_2) и displaystyle frac{1}{f(x_1)}>frac{1}{f(x_2)}, следовательно, f_1 строго возрастает.

2) displaystyle f_1(x_1+x_2)=frac{1}{f(x_1+x_2)}=frac{1}{f(x_1)f(x_2)}=f_1(x_1)f_1(x_2).

Аналогично проверяется, что g_1 — показательная функция.

    [f_1(1)=frac{1}{f(1)}=frac{1}{a}, g_1(1)=frac{1}{g(1)}=frac{1}{a} .]

Таким образом, показательные функции f_1(x) и g_1(x) имеют одно и то же основание displaystyle frac{1}{a}>1, следовательно, по первой части теоремы, f_1=g_1Rightarrow f=g.

Ссылка на основную публикацию