27. Формулы двойного и половинного аргумента

Теорема. Если $cosalphane0$ , то

$[sin2alpha={2{rm tg},alphaover 1+{rm tg}^2alpha}, cos2alpha={1-{rm tg}^2alphaover 1+{rm tg}^2alpha} .]$

Доказательство.

$[sin2alpha=2sinalphacosalpha=2{rm tg}, alphacdotcos^2alpha={2{rm tg}, alphaover 1+{rm tg}^2alpha},]$

$[cos2alpha=2cos^2alpha-1={2over 1+{rm tg}^2alpha}-1={1-{rm tg}^2alphaover 1+{rm tg}^2alpha} .]$

Теорема.

$[begin{array}{ll} {bf 1.}&displaystyle cos^2{alphaover 2}={1+cosalphaover 2}\[3mm] {bf 2.}&displaystyle sin^2{alphaover 2}={1-cosalphaover 2}\[3mm] {bf 3.}&displaystyle {rm tg}, {alphaover 2}={sinalphaover 1+cosalpha}quadleft(cos{alphaover 2}ne0right) end{array}]$

Доказательство.

$[begin{array}{ll} displaystyle cosalpha=cos{2alphaover 2}=2cos^2{alphaover 2}-1Rightarrow{bf 1.}\[3mm] displaystyle =1-2sin^2{alphaover 2}Rightarrow{bf 2.}\[3mm] displaystyle {rm tg}, {alphaover 2}={sin{alphaover 2}over cos{alphaover 2}}={2sin{alphaover 2}cos{alphaover 2}over 2cos^2{alphaover 2}}={sinalphaover 1+cosalpha} . end{array}]$

Задачи.

1) Упростите

1. $displaystyle frac{sin25^{circ}sin65^{circ}}{cos40^{circ}}$ .

2. $(cos^210^{circ}-cos^280^{circ})^2+cos^270^{circ}$ .

3. $sin20^{circ}+2sin^235^{circ}$ .

4. $displaystyle frac{1}{2sin10^{circ}}-2sin70^{circ}$ .

5. $cos20^{circ}cos40^{circ}cos80^{circ}$ .

6. $cosfrac{pi}{5}$ .

7. $displaystyle frac{cos2alpha}{sinalpha+cosalpha}$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40