26. Определение показательной функции

Определение. Функция f, определенная на mathbb{R}, называется показательной функцией, если она обладает следующими свойствами:

1. f строго монотонна;

2. forall x_1,x_2inmathbb{R} f(x_1+x_2)=f(x_1)cdot f(x_2).

Число a=f(1) называется основанием показательной функции f.

Свойства показательной функции

1) f(x_1+x_2+ldots+x_n)=f(x_1)cdot f(x_2)timesldotstimes f(x_n).

2) Если ninmathbb{N}, то f(nx)=(f(x))^n.

(Доказательство этого свойства сразу следует зи свойства 1)).

3) Все значения показательной функции положительны.

Доказательство.

    [displaystyle f(x)=fleft(2cdotfrac{x}{2}right)=left( fleft(frac{x}{2}right)right)^2ge0 .]

Предположим, что f(x_0)=0. Тогда для любого x>f(x)=f((x-x_0)+x_0)=f(x-x_0)cdot f(x_0)=0. Это противоречит строгой монотонности функции f. Ни одно значение f не может равняться нулю, следовательно, все ее значения положительны.

4) f(0)=1.

Доказательство.

    [f(0)=f(2cdot0)=f(0)^2 ,]

    [f(0)^2=f(0) .]

Так как f(0)ne0, то f(0)=1.

5) a>0,ane1.

Доказательство. a=f(1) по свойству 3). f(1)ne f(0), так как f строго монотонна, т.е. ane1.

6) Пусть m,ninmathbb{N}. Тогда displaystyle fleft(frac{m}{n}right)=sqrt[n]{a^m}>.

Доказательство. Нужно доказать, что displaystyle fleft(frac{m}{n}right)ge0 и что displaystyle fleft(frac{m}{n}right)^n=a^m.

Первое утверждение следует из свойтва 3).

displaystyle fleft(frac{m}{n}right)^n=(св-во 2))=displaystyle fleft( ncdotfrac{m}{n}right)=f(m)=f(mcdot 1)=(св-во 2))=f(1)^m=a^m .Примечание. Таким образом, если существует показательная функция с основанием a, то существует и корень степени n> из числа a.

7) displaystyle f(-x)=frac{1}{f(x)}.

Доказательство.

    [f(-x)cdot f(x)=f(-x+x)=f(0)=1]

(по свойству 4)).

8 ) Если a>1, то f строго возрастает, если a<1, то f строго убывает.

Доказательство. Нужно сравнить f(0)=1 и f(1)=a.

Ссылка на основную публикацию