25. Тригонометрические уравнения и неравенства. Задачи

1. Решите уравнения с помощью замены переменной

1) 2sin^2x+5cos x-4=0,

2) 2cos2x=8cos x-1,

3) 2sin^2x+3sin xcos x+7cos^2x=6,

4) (sin x+cos x)^3=4sin x,

5) {rm tg}, x+{rm ctg},x=3+2sin2x,

6) displaystyle frac{1}{sin x}-frac{1}{cos x}=1,

7) displaystyle sin^4x+cos^4x=frac{1}{2}.

2. Решите уравнения

1) sqrt{3}sin x-cos x=sqrt{2},

2) displaystyle 3sin x+4cos x=frac{5}{2}.

3. Решите уравнения разложением на множители

1) displaystylecosleft( 3x-frac{pi}{6}right)=cosleft( x+frac{pi}{4}right),

2) cos3x=sin10x,

3) cos x+cos2x+cos3x+cos4x=0,

4) sin^23x+sin^24x+sin^26x+sin^27x=2,

5) sin2xcos4x=sin7xcos9x,

6) cos2xcos8x+cos xcos3x+cos2xcos10x=0,

7) cos5x+cos7x=sin2x,

{bf 8)}5sin x+12cos x+13sin3x=0,

9) 2{rm tg},3x-3{rm tg},2x={rm tg}^22x{rm tg},3x.

4. Решите уравнения сравнением множества значений левой и правой частей

1) 3sin^7x+4cos^{10}x=7,

2) sin x+cos4x+2sin5x=4,

3) {rm tg}^2x+{rm ctg}^2x=sqrt{2}(sin x+cos x),

4) cos^2x-cos^4x=sin^2xsin^23x-1.

5. Решите уравнения

1) displaystyle {rm tg}frac{2pi x}{1+x+x^2}=sqrt{3},

2) {rm tg},(pi{rm tg},x)={rm ctg},(pi{rm ctg},x).

6. Решите системы тригонометрических уравнений

1)

    [left{begin{array}{l} displaystyle sin xcos y=frac{1}{2},\[3mm] displaystyle sin ycos x=frac{1}{2}. end{array}right.]

2)

    [left{begin{array}{l} sin^2x=sin y,\ [1mm] cos^4x=cos y. end{array}right.]

7. Решите тригонометрические неравества

1) cos2xgesin x,

2) sin5x>16sin^5x,

3) cos2x>cos x-sin x,

4) cos^2x+cos^22x+cos^24x+cos^25xge2.

8. Тригонометрические подстановки. Иногда для решения уравнений полезно использовать тригонометрические функции

1) Решите уравнение 4x^3-3x=1/2.

2) Докажите, что если 4p^3+27q^2<0, то уравнение x^3+px+q=0 имеет три корня, и выразите их через значения тригонометрических функций.

3) Пусть f(x)=x^2-2. Решите уравнение

    [f(f(ldots f(x)ldots ))=0]

Здесь функция f встречается n раз.

Ссылка на основную публикацию