25. Показательные и логарифмические функции. Степени и корни

Определение. Пусть . Если , то , .

Свойства степени

Пусть . Тогда

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Доказательство следует из определения (свойства 1–5, свойство 6 — свойство неравенств).

Определение. Пусть . Число называется корнем степени из числа , если .

Теорема. Пусть . Тогда существует единственный неотрицательный корень степени из числа .

Он обозначается и называется арифметическим корнем степени из .

Доказательство.

I. Существование. При существование корня очевидно, при остальных будет доказано позже.

II. Единственность. Пусть существует два различных арифметических корня степени из — : .  Если , то очевидно, что . Пусть , тогда . Пусть, например, . Тогда . Полученное противоречие доказывает утверждение.