25. Показательные и логарифмические функции. Степени и корни

Определение. Пусть ainmathbb{R}, ninmathbb{N}. Если nge2, то a^n=acdot atimesldotstimes a, a^1=a.

Свойства степени

Пусть a,binmathbb{R},m,ninmathbb{N}. Тогда

1. a^{m+n}=a^mcdot a^n;

2. displaystyle m>n,ane 0Rightarrow a^{m-n}=frac{a^m}{a^n};

3. (ab)^n=a^ncdot b^n;

4. displaystyle bne0Rightarrow left(frac{a}{b}right)^n=frac{a^n}{b^n};

5. left( a^mright)^n=a^{mn};

6. a>b>0Rightarrow a^n>b^n.

Доказательство следует из определения (свойства 1–5, свойство 6 — свойство неравенств).

Определение. Пусть ainmathbb{R},ninmathbb{N},nge2. Число b называется корнем степени n из числа a, если b^n=a.

Теорема. Пусть age0,ninmathbb{N},nge2. Тогда существует единственный неотрицательный корень степени n из числа a.

Он обозначается sqrt[n]{a} и называется арифметическим корнем степени n из a.

Доказательство.

I. Существование. При a=0,a=1 существование корня очевидно, при остальных a будет доказано позже.

II. Единственность. Пусть существует два различных арифметических корня степени n из ab_1,b_2ge0: b_1^n=b_2^n=a.  Если a=0, то очевидно, что b_1=b_2=0. Пусть a>0, тогда b_1>0,b_2>0. Пусть, например, b_1>b_2. Тогда b_1^n>b_2^n. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Ссылка на основную публикацию