Определение. Пусть . Если
, то
,
.
Свойства степени
Пусть . Тогда
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .
Доказательство следует из определения (свойства 1–5, свойство 6 — свойство неравенств).
Определение. Пусть . Число
называется корнем степени
из числа
, если
.
Теорема. Пусть . Тогда существует единственный неотрицательный корень степени
из числа
.
Он обозначается и называется арифметическим корнем степени
из
.
Доказательство.
I. Существование. При существование корня очевидно, при остальных
будет доказано позже.
II. Единственность. Пусть существует два различных арифметических корня степени из
—
:
. Если
, то очевидно, что
. Пусть
, тогда
. Пусть, например,
. Тогда
. Полученное противоречие доказывает утверждение.