24. Ряды с любыми вещественными членами*

Для ряда

    [a_1+a_2+dots+a_n+ldotseqno(1)]

с любыми вещественными членами рассмотрим ряд

    [|a_1|+|a_2|+dots+|a_n|+ldotseqno(2)]

Теорема. Если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится.

Доказательство. По varepsilon>0 найдем номер N так, чтобы при n>mle N выполнялось неравенство

    [|a_{m+1}|+ldots+|a_n|<varepsilon .]

Для этих m и n также

    [|a_{m+1}+dots+a_n|le|a_{m+1}|+ldots+|a_n|<varepsilon ,]

так что для ряда (1) выполнен критерий Коши, и теорема доказана.

Определение. Ряд (1), для которого сходится ряд (2), называется абсолютно сходящимся.

Ряд (1) может сходиться, а ряд (2) расходиться. В этом случае
ряд (1) называется условно сходящимся.

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд

    [b_1-b_2+b_3-b_4+ldots+(-1)^{n-1}b_n+ldots]

(b_nge0) сходится (вообще говоря, не абсолютно), если

а) b_nge b_{n+1}qquad(n=1,2,3,ldots);

б) displaystyle lim_{ntoinfty}b_n=0.

Доказательство. Имеем частные суммы:

    [begin{array}{l} s_{2n+1}=s_{2n-1}-b_{2n}+b_{2n+1}le s_{2n-1},\ s_{2n+2}=s_{2n}+b_{2n+1}-b_{2n+2}ge s_{2n}. end{array}]

Последовательность s_2,s_4,ldots не убывает, а последовательность s_1,s_3,ldots не возрастает. При любом k и nge k

    [s_2le s_4ledotsle s_{2n}le s_{2n}+b_{2n+1}= s_{2n+1}leldotsle s_{2k+1} ,]

так что последовательность s_2,s_4,ldots ограничена сверху любым числом s_{2k+1}. Таким образом, xi=displaystyle lim_{ntoinfty}s_{2n}le s_{2k+1}forall k. Но в этом случае displaystyle lim_{ntoinfty}s_{2n} служит нижней границей всех s_{2k+1}, поэтому существует displaystylelim_{ntoinfty}s_{2n+1} и

    [xi=lim_{ntoinfty}s_{2n}lelim_{ntoinfty}s_{2n+1}=eta .]

Однако

    [0leeta-xile s_{2n+1}-s_{2n}=b_{2n+1} ,]

и так как b_{2n+1}to0, то xi=eta=displaystyle lim_{ntoinfty}s_n.

Пример. Ряд

    [1-{1over 2^{alpha}}+{1over 3^{alpha}}-{1over 4^{alpha}}+ldots quad(alpha>0)]

по признаку Лейбница, сходится. При alpha>1 он сходится абсолютно. При 0<alphale 1 он сходится условно, так как соответствующий ряд из абсолютных величин

    [1+{1over 2^{alpha}}+{1over 3^{alpha}}+{1over 4^{alpha}}+ldots]

расходится.

Сходимость ряда displaystylesum_{n=1}^{infty}{1over n^p}при p>1

    [s_k=1+{1over 2^p}+{1over 3^p}+dots+{1over k^p}]

Возьмем m: 2^m>k. Тогда

    [begin{array}{l} displaystyle s_kle1+{1over 2^p}+{1over 3^p}+ldots+{1over (2^m-1)^p}=\[4mm] displaystyle =1+left({1over 2^p}+{1over 3^p}right)+ldots+left({1over 2^{(m-1)p}}+ldots+{1over (2^m-1)^p}right)le\[4mm] displaystyle le1+{2over 2^p}+ldots+{2^{m-1}over 2^{(m-1)p}}=1+{1over 2^{p-1}}+ldots+{1over 2^{(p-1)(m-1)}}=\[4mm] displaystyle ={left({1over 2^{p-1}}right)^m-1over {1over 2^{p-1}}-1}Rightarrow end{array}]

ряд сходится.

Расходимость ряда displaystyle sum_{n=1}^{infty}{1over n^p}при p<1

    [s_k=1+{1over 2^p}+{1over 3^p}+ldots+{1over k^p}]

Возьмем m: 2^m<k. Тогда

    [begin{array}{l} displaystyle s_kge1+{1over 2^p}+{1over 3^p}+ldots+{1over (2^m)^p}=1+{1over 2^p}+left({1over 3^p}+{1over 4^p}right)+\[4mm] displaystyle +left({1over (2^{m-1})^p}+ldots+{1over 2^{mp}}right)ge{1over 2}+{1over 2^p}+{2over 4^p}+ldots+{2^{m-1}over 2^{mp}}=\[4mm] displaystyle ={1over 2}+{1over 2^p}+{1over 2^{2p-1}}+ldots+{1over 2^{m(p-1)+1}}={1over 2}cdot{1-left({1over 2^{p-1}}right)^kover 1-{1over 2^{p-1}}}Rightarrow end{array}]

при p<1 ряд расходится.

Ссылка на основную публикацию