Определение. Функция , заданная на некотором промежутке вещественной оси, называется выпуклой, если для любых чисел
из этого промежутка и любого числа
выполнено неравенство
Геометрически это означает, что всякая хорда, соединяющая две точки на графике, лежит выше соответствующей части графика.
Итак, сформулируем неравенство Иенсена.
Пусть — выпуклая функция. Тогда
где — числа из области определения функции
,
— положительные числа, сумма которых равна единице.
Доказательство проведем методом математической индукции. База при справедлива по определению выпуклой функции. Совершим индукционный переход от
к
:
Для эффективного применения неравенства Йенсена необходим простой критерий, позволяющий определить, является ли данная функция выпуклой. Такой критерий существует: дважды дифференцируемая функция, у которой вторая производная неотрицательна, выпуклая.
Покажем теперь, как из неравенства Йенсена можно получить классические неравенства (их можно получить все, приведем здесь лишь доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, и тех, что не были доказаны ранее).
1. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:
Прологарифмировав обе части неравенства, получим
Функция выпуклая, так как производная
. Поэтому полученное неравенство — это неравенство Йенсена для функции
и
2. Неравенство между взвешенным средним арифметическим и средним геометрическим:
Так же, как и в предыдущем доказательстве, прологарифмируем обе части неравенства:
Это неравенство Йенсена для функции .
3. Неравенство Бернулли:
Логарифмируя обе части первого неравенства, получаем
или
Используя выпуклость функции , имеем
Записывая второе неравенство в виде
аналогично предыдущему получаем
Если в определении выпуклой функции знак неравенства изменить на противоположный, то соответствующая функция называется вогнутой. Ясно, что функция вогнута тогда и только тогда, когда функция
выпукла. Поэтому критерием вогнутости для дважды дифференцируемой функции является неположительность ее второй производной. Неравенство Йенсена для вогнутой функции
выглядит так:
Задачи.
1. Доказать, что
2. Пусть — числа из промежутка
. Доказать, что
3. Пусть — положительные числа. Доказать, что
4. Пусть — стороны треугольника. Доказать, что
5. Пусть — положительные числа,
. Доказать, что