23. Неравенство Йенсена

Определение. Функция f, заданная на некотором промежутке вещественной оси, называется выпуклой, если для любых чисел x_1,x_2 из этого промежутка и любого числа alphain [0,1] выполнено неравенство

    [f(alpha x_1+(1-alpha )x_2)lealpha f(x_1)+(1-alpha )f(x_2).]

Геометрически это означает, что всякая хорда, соединяющая две точки на графике, лежит выше соответствующей части графика.

Итак, сформулируем неравенство Иенсена.

Пусть f — выпуклая функция. Тогда

    [fleft(sum_{i=1}^nalpha_ix_iright)lesum_{i=1}^nalpha_if(x_i),]

где x_1,x_2,ldots ,x_n — числа из области определения функции f, alpha_1,alpha_2,ldots ,alpha_n — положительные числа, сумма которых равна единице.

Доказательство проведем методом математической индукции. База при n=2 справедлива по определению выпуклой функции. Совершим индукционный переход от n к n+1:

    [begin{array}{l} displaystyle fleft(sum_{i=1}^{n+1}alpha_ix_iright)=fleft( (1-alpha_{n+1}) sum_{i=1}^n{alpha_iover 1-alpha_{n+1}}x_i+alpha_{n+1}x_{n+1} right)le \[5mm] displaystyle le (1-alpha_{n+1})fleft(sum_{i=1}^n{alpha_iover 1-alpha_{n+1}}x_iright)+alpha_{n+1}f(x_{n+1})le \[5mm] displaystyle le (1-alpha_{n+1})sum_{i=1}^n{alpha_iover 1-alpha_{n+1}}f(x_i) +alpha_{n+1}f(x_{n+1})=sum_{i=1}^{n+1}alpha_if(x_i). end{array}]

Для эффективного применения неравенства Йенсена необходим простой критерий, позволяющий определить, является ли данная функция выпуклой. Такой критерий существует: дважды дифференцируемая функция, у которой вторая производная неотрицательна, выпуклая.

Покажем теперь, как из неравенства Йенсена можно получить классические неравенства (их можно получить все, приведем здесь лишь доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, и тех, что не были доказаны ранее).

1. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

    [{sum_{i=1}^na_iover n}geleft(prod_{i=1}^na_iright)^{1over n}quad (a_1,a_2,ldots ,a_n>0).]

Прологарифмировав обе части неравенства, получим

    [ln{sum_{i=1}^na_iover n}gesum_{i=1}^n{1over n}ln a_i.]

Функция f(x)=-ln xquad (x>0) выпуклая, так как производная f''(x)=displaystyle {1over x^2}>0. Поэтому полученное неравенство — это неравенство Йенсена для функции f и

    [alpha_1=alpha_2=ldots =alpha_n=displaystyle {1over n}.]

2. Неравенство между взвешенным средним арифметическим и средним геометрическим:

    [sum_{i=1}^nq_ia_igeprod_{i=1}^na_i^{q_i}quad (a_1,ldots ,a_n,q_1,ldots ,q_n>0,q_1+q_2+cdots +q_n=1).]

Так же, как и в предыдущем доказательстве, прологарифмируем обе части неравенства:

    [displaystylelnleft(sum_{i=1}^nq_ia_iright)gesum_{i=1}^nq_iln a_i.]

Это неравенство Йенсена для функции f(x)=-ln x.

3. Неравенство Бернулли:

    [begin{array}{l} (1+x)^{alpha}ge 1+alpha xquad (x>-1,alpha>1),\[4mm] (1+x)^{alpha}le 1+alpha xquad (x>-1,0<alpha<1). end{array}]

Логарифмируя обе части первого неравенства, получаем

    [alphaln (1+x)geln (1+alpha x)]

  или

    [ln (1+x)ge{1overalpha}ln (1+alpha x) .]

Используя выпуклость функции f(x)=-ln x, имеем

    [begin{array}{l} displaystyle {1overalpha}ln (1+alpha x)={1overalpha}ln (1+alpha x)+left( 1-{1overalpha}right)ln 1le \[5mm] displaystyle le ln left({1overalpha}(1+alpha x)+left( 1-{1overalpha}right)cdot 1right)=ln (1+x). end{array}]

Записывая второе неравенство в виде

    [alphaln (1+x)leln (1+alpha x),]

аналогично предыдущему получаем

    [begin{array}{l} alphaln (1+x)=alphaln (1+x)+(1-alpha )ln 1le \[4mm] leln (alpha (1+x)+(1-alpha )cdot 1)=ln (1+alpha x). end{array}]

Если в определении выпуклой функции знак неравенства изменить на противоположный, то соответствующая функция называется вогнутой. Ясно, что функция f вогнута тогда и только тогда, когда функция (-f) выпукла. Поэтому критерием вогнутости для дважды дифференцируемой функции является неположительность ее второй производной. Неравенство Йенсена для вогнутой функции f выглядит так:

    [fleft( sum_{i=1}^nalpha_ix_iright) gesum_{i=1}^nalpha_if(x_i)qquad (alpha_1,alpha_2,ldots ,alpha_n>0,alpha_1+alpha_2+ldots +alpha_n=1).]

Задачи.

1. Доказать, что

    [sqrt[3]{3+sqrt[3]{3}}+sqrt[3]{3-sqrt[3]{3}}<2sqrt[3]{3}.]

2. Пусть a,b — числа из промежутка [-1,1]. Доказать, что

    [sqrt{1-a^2}+sqrt{1-b^2}lesqrt{4-(a+b)^2}.]

3. Пусть a_1,a_2,ldots ,a_n — положительные числа. Доказать, что

    [displaystyle prod_{i=1}^na_i^{a_i}geleft({sum_{i=1}^na_iover n}right)^{sum_{i=1}^na_i}.]

4. Пусть a,b,c — стороны треугольника. Доказать, что

    [left( 1+{b-cover a}right)^aleft( 1+{c-aover b} right)^bleft( 1+{a-bover c}right)^cle 1.]

5. Пусть a_1,a_2,ldots ,a_n — положительные числа, displaystyle{sum_{i=1}^n}a_i^2=1. Доказать, что

    [sum_{i=1}^nleft({1over a_i}-a_iright)ge (n-1)sqrt n.]

Ссылка на основную публикацию