23. Неравенство Йенсена

Определение. Функция $f$ , заданная на некотором промежутке вещественной оси, называется выпуклой, если для любых чисел $x_1,x_2$ из этого промежутка и любого числа $alphain [0,1]$ выполнено неравенство

Геометрически это означает, что всякая хорда, соединяющая две точки на графике, лежит выше соответствующей части графика.

Итак, сформулируем неравенство Иенсена.

Пусть $f$ — выпуклая функция. Тогда

$[fleft(sum_{i=1}^nalpha_ix_iright)lesum_{i=1}^nalpha_if(x_i),]$

где $x_1,x_2,ldots ,x_n$ — числа из области определения функции $f$ , $alpha_1,alpha_2,ldots ,alpha_n$ — положительные числа, сумма которых равна единице.

Доказательство проведем методом математической индукции. База при $n=2$ справедлива по определению выпуклой функции. Совершим индукционный переход от $n$ к $n+1$ :

$[begin{array}{l} displaystyle fleft(sum_{i=1}^{n+1}alpha_ix_iright)=fleft( (1-alpha_{n+1}) sum_{i=1}^n{alpha_iover 1-alpha_{n+1}}x_i+alpha_{n+1}x_{n+1} right)le \[5mm] displaystyle le (1-alpha_{n+1})fleft(sum_{i=1}^n{alpha_iover 1-alpha_{n+1}}x_iright)+alpha_{n+1}f(x_{n+1})le \[5mm] displaystyle le (1-alpha_{n+1})sum_{i=1}^n{alpha_iover 1-alpha_{n+1}}f(x_i) +alpha_{n+1}f(x_{n+1})=sum_{i=1}^{n+1}alpha_if(x_i). end{array}]$

Для эффективного применения неравенства Йенсена необходим простой критерий, позволяющий определить, является ли данная функция выпуклой. Такой критерий существует: дважды дифференцируемая функция, у которой вторая производная неотрицательна, выпуклая.

Покажем теперь, как из неравенства Йенсена можно получить классические неравенства (их можно получить все, приведем здесь лишь доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, и тех, что не были доказаны ранее).

1. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$[{sum_{i=1}^na_iover n}geleft(prod_{i=1}^na_iright)^{1over n}quad (a_1,a_2,ldots ,a_n>0).]$

Прологарифмировав обе части неравенства, получим

$[ln{sum_{i=1}^na_iover n}gesum_{i=1}^n{1over n}ln a_i.]$

Функция $f(x)=-ln xquad (x>0)$ выпуклая, так как производная $f''(x)=displaystyle {1over x^2}>0$ . Поэтому полученное неравенство — это неравенство Йенсена для функции $f$ и

$[alpha_1=alpha_2=ldots =alpha_n=displaystyle {1over n}.]$

2. Неравенство между взвешенным средним арифметическим и средним геометрическим:

$[sum_{i=1}^nq_ia_igeprod_{i=1}^na_i^{q_i}quad (a_1,ldots ,a_n,q_1,ldots ,q_n>0,q_1+q_2+cdots +q_n=1).]$

Так же, как и в предыдущем доказательстве, прологарифмируем обе части неравенства:

$[displaystylelnleft(sum_{i=1}^nq_ia_iright)gesum_{i=1}^nq_iln a_i.]$

Это неравенство Йенсена для функции $f(x)=-ln x$ .

3. Неравенство Бернулли:

$[begin{array}{l} (1+x)^{alpha}ge 1+alpha xquad (x>-1,alpha>1),\[4mm] (1+x)^{alpha}le 1+alpha xquad (x>-1,0<alpha<1). end{array}]$

Логарифмируя обе части первого неравенства, получаем

или

Используя выпуклость функции $f(x)=-ln x$ , имеем

$[begin{array}{l} displaystyle {1overalpha}ln (1+alpha x)={1overalpha}ln (1+alpha x)+left( 1-{1overalpha}right)ln 1le \[5mm] displaystyle le ln left({1overalpha}(1+alpha x)+left( 1-{1overalpha}right)cdot 1right)=ln (1+x). end{array}]$

Записывая второе неравенство в виде

аналогично предыдущему получаем

$[begin{array}{l} alphaln (1+x)=alphaln (1+x)+(1-alpha )ln 1le \[4mm] leln (alpha (1+x)+(1-alpha )cdot 1)=ln (1+alpha x). end{array}]$

Если в определении выпуклой функции знак неравенства изменить на противоположный, то соответствующая функция называется вогнутой. Ясно, что функция $f$ вогнута тогда и только тогда, когда функция $(-f)$ выпукла. Поэтому критерием вогнутости для дважды дифференцируемой функции является неположительность ее второй производной. Неравенство Йенсена для вогнутой функции $f$ выглядит так:

$[fleft( sum_{i=1}^nalpha_ix_iright) gesum_{i=1}^nalpha_if(x_i)qquad (alpha_1,alpha_2,ldots ,alpha_n>0,alpha_1+alpha_2+ldots +alpha_n=1).]$

Задачи.

1. Доказать, что

2. Пусть $a,b$ — числа из промежутка $[-1,1]$ . Доказать, что

$[sqrt{1-a^2}+sqrt{1-b^2}lesqrt{4-(a+b)^2}.]$

3. Пусть $a_1,a_2,ldots ,a_n$ — положительные числа. Доказать, что

$[displaystyle prod_{i=1}^na_i^{a_i}geleft({sum_{i=1}^na_iover n}right)^{sum_{i=1}^na_i}.]$

4. Пусть $a,b,c$ — стороны треугольника. Доказать, что

$[left( 1+{b-cover a}right)^aleft( 1+{c-aover b} right)^bleft( 1+{a-bover c}right)^cle 1.]$

5. Пусть $a_1,a_2,ldots ,a_n$ — положительные числа, $displaystyle{sum_{i=1}^n}a_i^2=1$ . Доказать, что

$[sum_{i=1}^nleft({1over a_i}-a_iright)ge (n-1)sqrt n.]$

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40