Определение. Пусть . Число
называется корнем степени
, если
.
Если , то, очевидно, и
.
Пусть . Тогда и
. Пусть
Таким образом, все корни степени из
задаются формулой
Выясним, сколько из этих корней различных.
Пусть .
Среди чисел равных нет, и любое
равно одному из них.
Доказана
Теорема. Если , то существует ровно
различных корней степени
из числа
. Они задаются формулой
Все эти корни лежат на одной окружности с центром в нуле и радиусом и являются вершинами правильного
-угольника, вписанного в окружность.
Корни из единицы
Теорема. Пусть , пусть
— все корни степени
из числа
. Тогда
— все корни степени
из
.
Теорема. Пусть — множество всех корней степени
из
. Если
, то
.
Замечание. Множество, обладающее таким свойством, называется группой.
Определение. Говорят, что какой-то корень -й степени из
является первообразным корнем степени
из
(или принадлежит показателю
), если он не является корнем меньшей степени из
, т.е. он
, но
.
Теорема. Первообразный корень -й степени из
имеет показатель
взаимно простой с
, а число всех первообразных корней равно
, где
— функция Эйлера.
Теорема.
Все корни степени из
являются степенями одного из них, например,
.
Задачи.
1. Найдите все кубические корни из 8.
2. Найдите все кубические корни из .
3. Найдите все корни четвертой степени из .
4. Найдите все корни пятой степени из .
5. Кубическими корнями из являются числа
,
.
1) Вычислите .
2) Пусть — вещественные числа,
— целое число. Докажите, что
— вещественное число.
3) Докажите тождество