23. Извлечение корня из комплексных чисел

Определение. Пусть $ninmathbb{N},nge2$ . Число $z$ называется корнем степени n из комплексного числа $w$ , если $z^n=w$ .

Если $w=0$ , то, очевидно, и $z=0$ .

Пусть $wne0$ . Тогда и $zne0$ . Пусть

$[begin{array}{l} w=r(cosvarphi+isinvarphi),r>0,\ z=rho(costheta+isintheta),rho>0,\ z^n=wLongleftrightarrowrho^n(cos ntheta+isin ntheta)=r(cosvarphi+ isinvarphi). end{array}]$

$[left{begin{array}{l} rho^n=r,\ ntheta=varphi+2pi k,kinmathbb{Z} end{array}right.Longleftrightarrowleft{begin{array}{l} rho=sqrt[n]{r},\ displaystyletheta={varphi+2pi kover n}, kinmathbb{Z}. end{array}right.]$

Таким образом, все корни степени $n$ из $w$ задаются формулой

$[z_k=sqrt[n]{r}left(cos{varphi+2pi kover n}+isin{varphi+2pi kover n}right), kinmathbb{Z}.]$

Выясним, сколько из этих корней различных.

Пусть $k,linmathbb{Z}$ .

$[begin{array}{l} displaystyle z_k=z_lLongleftrightarrow{varphi+2pi kover n}={varphi+2pi lover n}+2pi m,minmathbb{Z},\[3mm] varphi+2pi k=varphi+2pi l+2pi nm,minmathbb{Z},\ k-l=mn,minmathbb{Z},\ kequiv lpmod{n},\ z_k=z_lLongleftrightarrow kequiv lpmod{n}. end{array}]$

Среди чисел $z_0,z_1,dots,z_{n-1}$ равных нет, и любое $z_k$ равно одному из них.

Доказана

Теорема. Если $wne0,r=|w|,varphi=arg w,ninmathbb{N},nge2$ , то существует ровно $n$ различных корней степени $n$ из числа $w$ . Они задаются формулой

$[z_k=sqrt[n]{r}left(cos{varphi+2pi kover n}+isin{varphi+2pi kover n} right), k=overline{0,n-1}.]$

Все эти корни лежат на одной окружности с центром в нуле и радиусом $sqrt[n]{r}$ и являются вершинами правильного $n$ -угольника, вписанного в окружность.

Корни из единицы

Теорема. Пусть $z^n=w$ , пусть $varepsilon_0,varepsilon_1,ldots,varepsilon_{n-1}$ — все корни степени $n$ из числа $1$ . Тогда $varepsilon_0z,varepsilon_1z,ldots,varepsilon_{n-1}z$ — все корни степени $n$ из $w$ .

Теорема. Пусть $U_n$ — множество всех корней степени $n$ из $1$ . Если $xin U_n,yin U_n$ , то $xyin U_n,x/yin U_n$ .

Замечание. Множество, обладающее таким свойством, называется группой.

$[begin{array}{l} U_1={1}\ U_2={-1,1}\ displaystyle U_3=left{1,varepsilon_1=cos{2piover 3}+isin{2piover 3}=-{1over 2}+{sqrt{3}over 2}i,varepsilon_2=-{1over 2}-{sqrt{3}over 2}iright}\ U_4={1,varepsilon_1=i,varepsilon_2=-1,varepsilon_3=-i}\ U_5={1,k=1,k=2,k=3,k=4}\ displaystyle U_6=left{1,{1over 2}+{sqrt{3}over 2}i,-{1over 2}+{sqrt{3}over 2}i, -1,-{1over 2}-{sqrt{3}over 2}i,-{1over 2}-{sqrt{3}over 2}iright}. end{array}]$

Определение. Говорят, что какой-то корень $n$ -й степени из $1$ является первообразным корнем степени $n$ из $1$ (или принадлежит показателю $n$ ), если он не является корнем меньшей степени из $1$ , т.е. он $in U_n$ , но $notin U_1,ldots,U_{n-1}$ .

Теорема. Первообразный корень $n$ -й степени из $1$ имеет показатель $k$ взаимно простой с $n$ , а число всех первообразных корней равно $varphi(n)$ , где $varphi(n)$ — функция Эйлера.

Теорема.

$[varepsilon_0+varepsilon_1+ldots+varepsilon_{n-1}=0.]$

Все корни степени $n$ из $1$ являются степенями одного из них, например, $varepsilon_1$ .

Задачи.

1. Найдите все кубические корни из 8.

2. Найдите все кубические корни из $1+i$ .

3. Найдите все корни четвертой степени из $-4$ .

4. Найдите все корни пятой степени из $displaystyle frac{1+i}{sqrt{3}-i}$ .

5. Кубическими корнями из $1$ являются числа $displaystyle 1, omega=-frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{3}$ , $displaystyle bar{omega}=-frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{3}$ .

1) Вычислите $omega^{100}+omega^{200}+omega^{300}$ .

2) Пусть $a,b,c$ — вещественные числа, $n$ — целое число. Докажите, что $(a+bomega+comega^2)^n+(a+bomega^2+comega)^n$ — вещественное число.

3) Докажите тождество

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40