23. Извлечение корня из комплексных чисел

Определение. Пусть ninmathbb{N},nge2. Число z называется корнем степени n из комплексного числа w, если z^n=w.

Если w=0, то, очевидно, и z=0.

Пусть wne0. Тогда и zne0. Пусть

    [begin{array}{l} w=r(cosvarphi+isinvarphi),r>0,\ z=rho(costheta+isintheta),rho>0,\ z^n=wLongleftrightarrowrho^n(cos ntheta+isin ntheta)=r(cosvarphi+ isinvarphi). end{array}]

    [left{begin{array}{l} rho^n=r,\ ntheta=varphi+2pi k,kinmathbb{Z} end{array}right.Longleftrightarrowleft{begin{array}{l} rho=sqrt[n]{r},\ displaystyletheta={varphi+2pi kover n}, kinmathbb{Z}. end{array}right.]

Таким образом, все корни степени n из w задаются формулой

    [z_k=sqrt[n]{r}left(cos{varphi+2pi kover n}+isin{varphi+2pi kover n}right), kinmathbb{Z}.]

Выясним, сколько из этих корней различных.

Пусть k,linmathbb{Z}.

    [begin{array}{l} displaystyle z_k=z_lLongleftrightarrow{varphi+2pi kover n}={varphi+2pi lover n}+2pi m,minmathbb{Z},\[3mm] varphi+2pi k=varphi+2pi l+2pi nm,minmathbb{Z},\ k-l=mn,minmathbb{Z},\ kequiv lpmod{n},\ z_k=z_lLongleftrightarrow kequiv lpmod{n}. end{array}]

Среди чисел z_0,z_1,dots,z_{n-1} равных нет, и любое z_k равно одному из них.

Доказана

Теорема. Если wne0,r=|w|,varphi=arg w,ninmathbb{N},nge2, то существует ровно n различных корней степени n из числа w. Они задаются формулой

    [z_k=sqrt[n]{r}left(cos{varphi+2pi kover n}+isin{varphi+2pi kover n} right), k=overline{0,n-1}.]

Все эти корни лежат на одной окружности с центром в нуле и радиусом sqrt[n]{r} и являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность.

Корни из единицы

Теорема. Пусть z^n=w, пусть varepsilon_0,varepsilon_1,ldots,varepsilon_{n-1} — все корни степени n из числа 1. Тогда varepsilon_0z,varepsilon_1z,ldots,varepsilon_{n-1}z — все корни степени n из w.

Теорема. Пусть U_n — множество всех корней степени n из 1. Если xin U_n,yin U_n, то xyin U_n,x/yin U_n.

Замечание. Множество, обладающее таким свойством, называется группой.

    [begin{array}{l} U_1={1}\ U_2={-1,1}\ displaystyle U_3=left{1,varepsilon_1=cos{2piover 3}+isin{2piover 3}=-{1over 2}+{sqrt{3}over 2}i,varepsilon_2=-{1over 2}-{sqrt{3}over 2}iright}\ U_4={1,varepsilon_1=i,varepsilon_2=-1,varepsilon_3=-i}\ U_5={1,k=1,k=2,k=3,k=4}\ displaystyle U_6=left{1,{1over 2}+{sqrt{3}over 2}i,-{1over 2}+{sqrt{3}over 2}i, -1,-{1over 2}-{sqrt{3}over 2}i,-{1over 2}-{sqrt{3}over 2}iright}. end{array}]

Определение. Говорят, что какой-то корень n-й степени из 1 является первообразным корнем степени n из 1 (или принадлежит показателю n), если он не является корнем меньшей степени из 1, т.е. он in U_n, но notin U_1,ldots,U_{n-1}.

Теорема. Первообразный корень n-й степени из 1 имеет показатель k взаимно простой с n, а число всех первообразных корней равно varphi(n), где varphi(n) — функция Эйлера.

Теорема.

    [varepsilon_0+varepsilon_1+ldots+varepsilon_{n-1}=0.]

Все корни степени n из 1 являются степенями одного из них, например, varepsilon_1.

Задачи.

1. Найдите все кубические корни из 8.

2. Найдите все кубические корни из 1+i.

3. Найдите все корни четвертой степени из -4.

4. Найдите все корни пятой степени из displaystyle frac{1+i}{sqrt{3}-i}.

5. Кубическими корнями из 1 являются числа displaystyle 1, omega=-frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{3}, displaystyle bar{omega}=-frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{3}.

1) Вычислите omega^{100}+omega^{200}+omega^{300}.

2) Пусть a,b,c — вещественные числа, n — целое число. Докажите, что (a+bomega+comega^2)^n+(a+bomega^2+comega)^n — вещественное число.

3) Докажите тождество

    [x^3+y^3=(x+y)(x+omega y)(x+omega^2y).]

Ссылка на основную публикацию