23. Формулы приведения

Формулы приведения выражают синус и косинус displaystyle {kpiover 2}pmalpha(kinmathbb{Z}) через sinalpha или cosalpha, а тангенс и котангенс displaystyle {kpiover 2}pmalpha(kinmathbb{Z}) — через {rm tg}, alpha или {rm ctg}, alpha.

Теорема.

Rendered by QuickLaTeX.com

Доказательство. Если k увеличить или уменьшить на 4, то {kpiover 2}pmalpha изменяется на 2pi. Следовательно, синус, косинус, тангенс и котангенс не изменятся. Поэтому достаточно доказать теорему для k=1,2,3. Во всех этих случаях она легко выводится из теорем сложения.

Есть полезное мнемоническое правило, помогающее запомнить, в каких случаях изменяется тригонометрическая функция (синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот). Это правило называется “правило лошади”. На числовой окружности находится нужная точка displaystyle frac{kpi}{2}. Если эта точка находится на оси ординат (лошадь кивает головой, как бы говоря “да”), то функция меняется, а если на оси абсцисс (лошадь мотает головой, как бы говоря “нет”, то функция остается без изменения). Знак тоже легко определить. Если имеем displaystyle frac{kpi}{2}+alpha, то сдвигаясь от точки displaystyle frac{kpi}{2} в следующую координатную четверть (против часовой стрелки), определяем знак исходной тригонометрической функции в этой четверти, а если имеем displaystyle frac{kpi}{2}-alpha, то двигаться нужно обратно, по часовой стрелке.

Пример. Найдем sin left(frac{3pi}{2}-alpharight)=-cosalpha.

Точка 3pi/2 — это точка D(0;-1) числовой окружности. По правилу лошади, функция синус должна измениться на косинус. Точка 3pi/2-alpha лежит в третьей координатной четверти, где синус отрицательный. Тем самым, получаем ответ: -cosalpha.

Задачи.

1) Найдите sin 135^{circ},cos 110^{circ},{rm tg},11pi/4.

2) Упростите

    [left(sin(pi+alpha)+cosleft(frac{pi}{2}+alpharight)right)^2+left(cos(2pi-alpha)-sinleft(frac{3pi}{2}-alpharight)right)^2 .]

Ссылка на основную публикацию