23. Числовые ряды. Знакоположительные ряды*

Определение. Пусть a_1,a_2,dots,a_n,dots — последовательность вещественных чисел. Числовым рядом называется

    [sum_{k=1}^{infty}a_k .]

Сумма s_n=displaystylesum_{k=1}^na_k называется частной суммой ряда.

Определение. Если последовательность чисел s_1,s_2,dots,s_n сходится к конечному пределу s, то говорят, что ряд сходится и его сумма равна

    [s=lim_{ntoinfty}s_n .]

Если же последовательность s_n расходится, то говорят, что ряд расходится.

Числа a_1,a_2,dots,a_n,ldots называются членами ряда. Всякая конечная сумма a_{m+1}+dots+a_n называется отрезком ряда.

Если все числа a_1,a_2,dots,a_n,ldots положительны (неположительны, неотрицательны, отрицательны), ряд называется знакоположительным (знаконеположительным, знаконеотрицательным, знакоотрицательным).

Пример. Рассмотрим ряд

    [1+x+x^2+dots+x^{n-1}+ldots,]

где x — некоторое фиксированное число. Частные суммы этого ряда

    [s_n=sum_{k=0}^{n-1}x^k={1-x^nover 1-x} .]

Если |x|<1, то displaystyle s=lim_{ntoinfty}s_n={1over 1-x}.

При |x|>1 ряд расходится, так как |s_n| неограниченно возрастает.

При x=1s_n=1+1+ldots+1=n. Следовательно, ряд расходится.

При x=-1s_1=1,s_2=0,s_3=1,s_4=0,ldots Следовательно, (s_n) не имеет предела, и ряд расходится.

Значит, ряд сходится при |x|<1, а при |x|ge 1 расходится.

Теорема (критерий Коши для ряда). Ряд

    [sum_{k=1}^{infty}a_k]

сходится тогда и только тогда, когда

    [begin{array}{l} forallvarepsilon>0 exists N: forall mge N,n>mqquad a_{m+1}+dots+a_n|<varepsilon . end{array}]

В частности, если ряд сходится, то для любого varepsilon>0exists N: forall n>N|a_n|<varepsilon. Таким образом, у сходящегося ряда displaystyle lim_{ntoinfty}a_n=0 — необходимое условие сходимости. Однако оно не является достаточным.

Для знаконеотрицательных рядов из ограниченности последовательности частичных сумм следует сходимость ряда.

Теорема (признак сравнения). Если знаконеотрицательный ряд a_1+a_2+ldots+a_n+ldots сходится и существуют c>0 и N: forall n>Nb_nle ca_n, то тогда и ряд b_1+b_2+ldots+b_n+ldots сходится.

Доказательство. Пусть displaystyle s=sum_{k=1}^{infty}a_k, displaystyle sigma_n=sum_{k=1}^nb_k. Тогда при n>N

    [sigma_n=b_1+b_2+dots+b_nle b_1+dots+b_N+c(a_{N+1}+dots+a_n)le b_1+dots+b_N+cs .]

Последовательность sigma_n возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел.

Пример. Если для неотрицательного ряда displaystylesum_{k=1}^{infty}b_k

    [b_nle cTheta^nqquad(n>N),]

где c>0 и 0leTheta<1, то ряд displaystyle sum_{k=1}^{infty}b_k сходится.

Теорема (признак Даламбера). Если для знакоположительного ряда

    [a_1+a_2+dots+a_n+ldots]

выполняется неравенство

    [lim_{ntoinfty}{a_{n+1}over a_n}<1,]

то ряд сходится.

Если

    [lim_{ntoinfty}{a_{n+1}over a_n}>1,]

то ряд расходится.

Доказательство. Если displaystylelim_{ntoinfty}{a_{n+1}over a_n}<1, то существует Theta<1: начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство

    [{a_{n+1}over a_n}leThetaqquad(n>N).]

Отсюда

    [a_{n+1}leTheta a_n,a_{N+2}leTheta a_{N+1}leTheta^2a_N,dots,a_{N+k}leTheta^ka_N ,]

и по признаку сравнения ряд сходится.

С именем Даламбера связан один забавный случай. Рассказывают, что, обучая математике очень тупого и очень знатного ученика и не добившись  понимания доказательства, Даламбер в отчаянии воскликнул: “Ну, честное  слово, сударь, эта теорема верна!” На что ученик отвечал: “Сударь, почему вы сразу так мне не сказали? Вы — дворянин, и я — дворянин; Вашего слова для меня вполне достаточно”.

Пример. Ряд

    [1+{1cdot2over 1cdot3}+{1cdot2cdot3over 1cdot3cdot5}+{1cdot2cdot3cdot4over  1cdot3cdot5cdot7}+dots]

сходится, поскольку

    [{a_{n+1}over a_n}={n+1over 2n+1}to{1over 2} .]

Теорема (признак Коши). Если для знакоположительного ряда

    [a_1+a_2+dots+a_n+ldots]

выполняется неравенство

    [lim_{ntoinfty}sqrt[n]{a_n}<1,]

то ряд сходится.

Если же

    [lim_{ntoinfty}sqrt[n]{a_n}>1,]

то ряд расходится.

Доказательство. Если displaystylelim_{ntoinfty}sqrt[n]{a_n}<1, то существует N: forall n>Nsqrt[n]{a_n}<Theta<1. Следовательно, a_n<Theta^n, и по признаку сравнения ряд сходится.

Если же displaystyle lim_{ntoinfty}sqrt[n]{a_n}>1, то существует N: forall n>Nsqrt[n]{a_n}>1Rightarrow a_n>1. Значит, члены ряда не стремятся к нулю, и ряд расходится.

Пример. Ряд

    [{2over 1}+left({3over 2}right)^2+left({4over 5}right)^3+left({5over 7}right)^4+dots]

сходится, так как

    [sqrt[n]{a_n}={n+1over 2n-1}to{1over 2} .]

Пример. Гармонический ряд displaystylesum_{k=1}^{infty}{1over k} (каждый член этого ряда, начиная со второго, — среднее гармоническое двух соседних его членов: displaystyle {1over a}={1over 2}left({1over b}+{1over c}right)) расходится.

Доказательство.

    [begin{array}{l} displaystyle 1+{1over 2}+left({1over 3}+{1over 4}right)+left({1over 5}+{1over 6}+{1over 7}+{1over 8}right)+dots\[4mm] displaystyle {1over 2^k+1}+{1over 2^k+2}+dots+{1over 2^{k+1}}ge{2^kover 2^{k+1}}={1over 2}. end{array}]

Частная сумма гармонического ряда может быть сделана больше чего угодно.

Ссылка на основную публикацию