22. Тангенс и котангенс

Определение. Если cosalphane0, то отношение синуса alpha к косинусу alpha называется тангенсом alpha и обозначается {rm tg}, alpha.

Если sinalphane0, то отношение косинуса alpha к синусу alpha называется котангенсом alpha и обозначается {rm ctg},alpha.

    [sin^2alpha+cos^2alpha=1.]

Поделив обе части на cos^2alpha(cosalphane0), получим

    [{rm tg}^2alpha+1={1over cos^2alpha},]

    [sin^2alpha+cos^2alpha=1stackrel{sinalphane0}{Rightarrow}1+{rm ctg}^2alpha= {1over sin^2alpha}.]

Из определения тангенса и котангенса следует, что при sinalphane0,cosalphane0

    [{rm tg}, alphacdot{rm ctg}, alpha=1.]

Задачи.

1) Расположите в порядке возрастания числа

    [{rm tg},1,{rm ctg}, 2,{rm tg}, 3,{rm ctg}, 4, {rm tg}, 5,{rm ctg}, 6,{rm tg}, 7,{rm ctg}, 8 .]

2) Найдите {rm tg}^2alpha+{rm ctg}^2alpha, если {rm tg}, alpha-{rm ctg}, alpha=3.

3) Найдите {rm tg}, alpha, если sin^2alpha-2cos^2alpha=sinalphacosalpha, alphain[5;6].

4) Упростите выражения

1. ({rm tg}, alpha+{rm ctg}, alpha)^2-({rm tg},alpha-{rm ctg}, alpha)^2 .

2. sin^2alpha(2+{rm ctg}, alpha)(2{rm ctg}, alpha+1)-5sinalphacosalpha .

3. displaystyle sqrt{{rm tg}^2alpha+{rm ctg}^2alpha-2}qquadleft(alphainleft[frac{pi}{4};frac{pi}{2}right]right) .

5) Докажите тождества

1. displaystylefrac{{rm tg},alpha+{rm ctg},beta}{{rm ctg},alpha+{rm tg},beta}=frac{{rm tg},alpha}{{rm tg},beta} .

2. displaystyle (sinalpha+{rm tg},alpha)(cosalpha+{rm ctg},alpha)=(1+sinalpha)(1+cosalpha) .

Ссылка на основную публикацию