22. Применение интеграла

Теорема (схема применения интеграла). Пусть T:Psitomathbb{R}, T аддитивна, пусть f:[a,b]tomathbb{R}, функция f непрерывна. Для любого отрезка [alpha,beta] обозначим m[alpha,beta] — наименьшее значение функции f на [alpha,beta], M[alpha,beta] — наибольшее значение функции f на [alpha,beta]. Пусть forall [alpha,beta]subset[a,b]

    [(beta-alpha)m[alpha,beta]le T[alpha,beta]le M[alpha,beta](beta-alpha).]

Тогда T — интеграл f.
Следствие 1. Площадь подграфика

Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, функция f непрерывна и forall xin[a,b]f(x)ge0. Тогда площадь подграфика функции f равна displaystyle int_{a}^{b}f(x)dx.

S[alpha,beta] — площадь подграфика функции f на отрезке [alpha,beta]. S — аддитивная функция промежутка (следует из свойств площади). Рассмотрим два прямоугольника, основанием которых служит [alpha,beta], а высота первого равна наименьшему значению функции f на отрезке [alpha,beta], высота второго — наибольшему значению функции f на отрезке [alpha,beta]. Тогда

    [m[alpha,beta](beta-alpha)le S[alpha,beta]le M[alpha,beta](beta-alpha) .]

По теореме, displaystyle S[a,b]=int_{a}^{b}f(x)dx.

Следствие 2. Объем тела вращения

Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, функция f непрерывна и forall xin[a,b]f(x)ge0. Рассмотрим тело, полученное вращением подграфика функции f вокруг оси абсцисс. Объем этого тела равен displaystylepiint_{a}^{b}f^2(x)dx.

Для любого отрезка [alpha,beta] обозначим V[alpha,beta] объем той части нашего тела, которая заключена между плоскостями x=alpha и x=beta. По свойству объемов эта функция аддитивна. Рассмотрим два цилиндра с одинаковой высотой [alpha,beta]. Основание первого цилиндра — круг, радиус которого равен наименьшему значению функции f на отрезке [alpha,beta], а второго — круг, радиус которого равен наибольшему значению функции f на отрезке [alpha,beta]. Тогда

    [begin{array}{c@{}c@{}c} pi m^2[alpha,beta](beta-alpha)&le V[alpha,beta]le&pi M^2[alpha,beta](beta-alpha),\[2mm] |&&|\ displaystylemin_{xin[alpha,beta]}f^2(x)(beta-alpha)&&displaystylemax_{xin[alpha, beta]}f^2(x)(beta-alpha). end{array}]

По теореме,

    [V=int_{a}^{b}pi f^2(x)dx=piint_{a}^{b}f^2(x)dx .]

Следствие 3. Площадь в полярных координатах

    [S={1over 2}int_{a}^{b}r^2(varphi)dvarphi]

Для любого отрезка [alpha,beta]subset[a,b] обозначим S[alpha,beta] площадь фигуры, ограниченной лучами, идущими под углами alpha,beta и нашей линией. Рассмотрим два сектора, каждый из которых ограничен лучами varphi=alpha и varphi=beta и окружностью. Первый — окружностью, радиус которой равен наименьшему значению функции r на отрезке [alpha,beta], второй — окружностью, радиус которой равен наибольшему значению функции r на отрезке [alpha,beta]. Тогда

    [begin{array}{c@{}c@{}c} displaystyle {1over 2}left(min_{varphiin[alpha,beta]}r(varphi)right)^2(beta-alpha)& le S[alpha,beta]le&displaystyle {1over 2}left(max_{varphiin[alpha,beta]}r(varphi)right)^2(beta-alpha),\[4mm] |&&|\ displaystylemin_{varphiin[alpha,beta]}{1over 2}(r(varphi))^2(beta-alpha)&&displaystylemax_{varphiin[alpha,beta]}{1over 2}(r(varphi))^2(beta-alpha) . end{array}]

По теореме,

    [S=int_{a}^{b}{1over 2}r^2(varphi)dvarphi={1over 2}int_{a}^{b}r^2(varphi)dvarphi .]

Следствие 4. Длина пути

Пусть {bf r} — вектор-функция, заданная на отрезке [a,b]({bf r}:[a,b]tomathbb{V}), {bf r} дифференцируема, {bf r}^{prime} непрерывна. Тогда

    [l({bf r})=int_{a}^{b}left|{bf r}^{prime}(t)right| dt.]

Возьмем произвольный отрезок [alpha,beta]subset[a,b]

    [min_{tin[alpha,beta]}left|{bf r}^{prime}(t)right|(beta-alpha)le lleft(left.{bf r}right|_{[alpha,beta]}right)le min_{tin[alpha,beta]}left|{bf r}^{prime}(t)right|(beta-alpha) .]

По теореме,

    [l({bf r})=int_{a}^{b}left|{bf r}^{prime}(t)right|dt .]

Пусть mathbb{V}=mathbb{V}_2. Пусть в mathbb{V} выбран базис. Тогда {bf r}(t)=x(t){bf i}+y(t){bf j}, где x(t) и y(t) — функции координат в базисе ({bf i},{bf j}), x(t) и y(t) дифференцируемы и x^{prime}(t) и y^{prime}(t) непрерывны. Тогда

    [l({bf r})=int_{a}^{b}sqrt{(x^{prime}(t))^2+(y^{prime}(t))^2}dt .]

Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, функция f дифференцируема, функция f^{prime} непрерывна. Нужно вычислить длину графика функции f на отрезке [a,b]. Вектор-функция {bf r}(t) на отрезке [a,b] имеет вид

    [{bf r}(t)=t{bf i}+f(t){bf j} .]

Тогда

    [l=l({bf r})=int_a^bsqrt{1+(f'(t))^2}dt .]

Задача 1. Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, функция f дифференцируема, f^{prime} непрерывна, f выпукла. Докажите, что длина графика функции f вычисляется по формуле

    [l=int_{a}^{b}sqrt{1+(f'(t))^2}dt .]

Следствие 5. Работа

Пусть {bf r}:[a,b]tomathbb{V}, {bf r}(t) — радиус-вектор, задающий положение точки в момент времени t, {bf F}({bf r}(t)) — сила, действующая на точку в момент времени t. Пусть {bf r} имеет непрерывную производную {bf v}. Тогда работа силы {bf F} на промежутке времени [a,b] равна

    [A=int_{a}^{b}{bf F}cdot{bf v}dt.]

Задачи.

1. Найдите площади фигур, задаваемых условиями

1)

    [left{begin{array}{l} -1le xle2,\ 0le yle x^2+1. end{array}right.]

2) 0le yle 1-x^2 .

3) x^2-pi xle ylesin x .

2. Вычислите интегралы

1) displaystyle int_0^1sqrt{1-x^2}dx;

2) displaystyle int_0^1 {rm arcsin},xdx;

3) Вспомните, что такое обратная функция. Докажите неравенство

    [9<int_0^3sqrt[4]{x^4+1}dx+int_1^3sqrt[4]{x^4-1}dx<9,0001 .]

4. Найдите объем следующих тел:

1) Тело получено вращением вокруг оси абсцисс фигуры, задаваемой условием 0le yle 1-x^2 .

2) Тело получено вращением вокруг оси ординат фигуры, задаваемой условием 0le yle 1-x^2 .

3) Тело получено вращением вокруг оси абсцисс фигуры, задаваемой условием

    [left{begin{array}{l} 0le xlepi,\ 0le ylesin x. end{array}right.]

Ссылка на основную публикацию