22. Неравенство Гёльдера

В 1889 г. появилось обобщение неравенства Коши, данное немецким математиком О.Л. Гёльдером:

    [sum_{i=1}^na_ib_ileleft(sum_{i=1}^na_i^pright)^{1over p} cdotleft(sum_{i=1}^nb_i^qright)^{1over q},]

где a_1,a_2,ldots ,a_n,b_1,b_2,ldots ,b_n,p,q — положительные числа, причем 1/p+1/q=1. (При p=q=2 имеем неравенство Коши.)

Неравенство Гёльдера получим, используя следующее утверждение:

    [{a^pover p}+{b^qover q}ge abquad (a,b,p,q>0,{1over p}+{1over q}=1).]

Оно справедливо в силу неравенства между взвешенными средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел:

    [a_1^{q_1}cdot a_2^{q_2}le q_1a_1+q_2a_2quad (a_1,a_2,q_1,q_2>0,q_1+q_2=1).]

Для доказательства достаточно положить

    [a_1=a^p,a_2=b^q,q_1={1over p},q_2={1over q}.]

Имеем

    [begin{array}{l} displaystyle{displaystylesum_{i=1}^na_ib_iover displaystyleleft(sum_{i=1}^na_i^pright)^{1over p} cdotleft(sum_{i=1}^nb_i^qright)^{1over q}}=sum_{i=1}^n{a_ioverdisplaystyle left(sum_{i=1}^na_i^pright)^{1over p}}cdot{b_ioverdisplaystyle left(sum_{i=1}^nb_i^qright)^{1over q}}le \[13mm] displaystylelesum_{i=1}^nleft({1over p}left({a_ioverdisplaystyleleft(sum a_i^pright)^{1over p}}right)^p+{1over q}left({b_ioverdisplaystyleleft(sum b_i^qright)^{1over q}}right)^qright) ={1over p}+{1over q}=1. end{array}]

Задачи.

1. Пусть a_1,a_2,ldots ,a_n,b_1,b_2,ldots ,b_n — положительные числа, p>1. Доказать, что

    [sum_{i=1}^na_i^pcdotleft(sum_{i=1}^nb_i^pright)^{p-1}ge left(sum_{i=1}^na_ib_i^{p-1}right)^p.]

2. Пусть a_1,a_2,ldots ,a_n,b_1,b_2,ldots,b_n,c_1,c_2,ldots ,c_n — положительные числа. Доказать, что

    [left(sum_{i=1}^na_i^3right)left(sum_{i=1}^nb_i^3right) left(sum_{i=1}^nc_i^3right)geleft(sum_{i=1}^na_ib_ic_iright)^3.]

3. Пусть left{ a_iright} _{i=1}^n,left{ b_iright} _{i=1}^n,ldots ,left{ z_iright} _{i=1}^nk последовательностей положительных чисел; p_1,p_2,ldots ,p_k — положительные числа, такие, что displaystyle {sum_{i=1}^k{1over p_i}}=1. Доказать, что

    [sum_{i=1}^na_ib_ildots z_ileleft(sum_{i=1}^na_i^{p_1}right)^{1over p_1}left(sum_{i=1}^nb_i^{p_2}right)^{1over p_2}cdotldotscdotleft(sum_{i=1}^nz_i^{p_k}right)^{1over p_k}.]

4. Неравенство Минковского. Пусть a_1,a_2,ldots ,a_n,b_1,b_2,ldots,b_n — положительные числа. Доказать, что

    [left(prod_{i=1}^na_iright)^{1over n}+left(prod_{i=1}^nb_iright)^{1over n}leleft(prod_{i=1}^n(a_i+b_i)right)^{1over n}.]

5. Пусть a_1,a_2,ldots ,a_n,b_1,b_2,ldots ,b_n — положительные числа; p,q — таковы, что displaystyle {1over p}+{1over q}=1,quad pq<0. Доказать, что

    [sum_{i=1}^na_ib_igeleft(sum_{i=1}^na_i^pright)^{1over p}cdotleft(sum_{i=1}^nb_i^qright)^{1over q}.]

Ссылка на основную публикацию