22. Комплексная плоскость

Рассмотрим координатную плоскость и поставим в соответствие каждому комплексному числу a+bi точку с координатами (a,b). Тогда устанавливается взаимно однозначное соответствие между полем mathbb{C} и множеством точек координатной плоскости. Координатную плоскость в этом случае будем называть комплексной плоскостью. Ось абсцисс будем называть вещественной осью, а ось ординат — мнимой осью.

С каждой точкой комплексной плоскости можно связать вектор, идущий из нуля в эту точку (радиус-вектор). Координаты этого вектора — вещественная и мнимая части его конца.

    [begin{array}{l} Re e (z_1+z_2)=Re e z_1+Re e z_2\ Im m (z_1+z_2)=Im m z_1+Im m z_2. end{array}]

Радиус-вектор числа z_1+z_2 равен сумме радиус-векторов чисел z_1 и z_2.

Аналогично с вычитанием.

Полярная система координат

Выберем в плоскости точку O (полюс) и луч с началом в точке O (полярную полуось). Тогда положение любой точки плоскости A, отличной от точки O, однозначно характеризуется двумя числами: длиной отрезка OA (полярный радиус точки A) и величиной угла, образованного лучом OA с полярной полуосью (полярный угол точки A). При этом полярный угол отсчитывается в некотором фиксированном направлении, одном и том же для всех точек.

Полярный угол определен с точностью до 2pi k. Полярный радиус точки O считается равным нулю, а полярного угла у нее нет.

Модуль и аргумент комплексного числа

Модулем комплексного числа z называется расстояние от z до нуля на комплексной плоскости.

Обозначение. |z|. (Модуль z — длина радиус-вектора.) Если zinmathbb{R}, это определение не противоречит определению модуля вещественного числа.

Пусть z_1 и z_2 — комплексные числа. |z_1-z_2| — длина радиус-вектора числа z_1-z_2 — длина вектора {bf z}_2{bf z}_1 — расстояние между z_2 и z_1 на комплексной плоскости.

Пусть z=a+bi(a,binmathbb{R}). Тогда |z|=sqrt{a^2+b^2} Следовательно, |z|=sqrt{zbar{z}}.

Теорема. |z_1z_2|=|z_1||z_2|.

Доказательство.

    [|z_1z_2|=sqrt{(z_1z_2)(bar{z}_1bar{z}_2)}=sqrt{z_1z_2bar{z}_1bar{z}_2}=sqrt{z_1bar{z}_1z_2bar{z}_2}=sqrt{|z_1|^2|z_2|^2}=|z_1||z_2|.]

Теорема.

    [left|{z_1over z_2}right|={|z_1|over |z_2|}.]

Доказательство аналогично.

Теорема.

    [begin{array}{l} |z_1+z_2|le|z_1|+|z_2|,\ |z_1-z_2|ge|z_1|-|z_2|. end{array}]

Доказательство. Следует из определения модуля и геометрического смысла сложения и вычитания комплексных чисел.

Определение. Пусть z — комплексное число, не равное нулю, пусть displaystyle z_0={zover |z|}, тогда

    [|z_0|={|z|over ||z||}={|z|over |z|}=1.]

Следовательно, точка z_0 лежит на единичной окружности с центром в нуле.

Существует вещественное число varphi такое, что

    [Re ez_0=cosvarphi, Im m z_0=sinvarphi.]

Таких чисел varphi бесконечно много, и любые два из них различаются на 2pi k, где k — произвольное целое число. Любое такое число называется аргументом числа z.

Обозначение. varphi={rm arg}, z.

    [begin{array}{l} z_0=cosvarphi+isinvarphi,\ z=|z|z_0=|z|(cosvarphi+isinvarphi). end{array}]

Итак, любое комплексное число zne0 можно представить в виде

    [z=r(cosvarphi+isinvarphi),]

где r=|z|, varphi=arg z(r,varphiinmathbb{R}, r>0).

Такое представление комплексного числа называется его тригонометрической формой.

Формула Муавра

Абрахам де Муавр (1667–1754) был выходцем из Франции, прожил долгую жизнь в Англии и умер в Лондоне. Однажды, незадолго до смерти, Муавр заявил, что ему необходимо ежедневно увеличивать время сна на 10–15 минут. Достигнув, таким образом, в сумме продолжительность сна более 23 часов, он на следующие сутки проспал все 24 часа и умер во сне.

С именем Муавра связаны правила возведения в n-ю степень и извлечения корня n-й степени для комплексных чисел. Муавр много занимался исследованием рядов и доказал частный случай предельной теоремы в теории вероятностей.

Лемма. Пусть z=r(cosvarphi+isinvarphi), где r,varphiinmathbb{R},r>0. Тогда r=|z|,varphi=arg z.

Доказательство.

    [begin{array}{l} |z|=sqrt{bar{z}z}=sqrt{r(cosvarphi+isinvarphi)cdot r (cosvarphi+isinvarphi)}=\ =sqrt{r^2(cos^2varphi+sin^2varphi)}=|r|=r\ r=|z|. end{array}]

Пусть psi=arg z. Тогда z=r(cospsi+isinpsi). Но z=r(cosvarphi+isinvarphi)Longrightarrow

    [left{begin{array}{l} cospsi=cosvarphi,\ sinpsi=sinvarphi, end{array}right.]

Следовательно, числам psi и varphi соответствует одна и та же точка числовой окружности. Значит, psi=varphi+2pi k,kinmathbb{Z}. Значит, varphi — одно из значений {rm arg}, z.

Теорема. Пусть z_1,z_2ne0,varphi_1=arg z_1,varphi_2=arg z_2. Тогда varphi_1+varphi_2=arg(z_1z_2).

Доказательство. Представим z_1 и z_2 в тригонометрической форме:

    [z_1=r_1(cosvarphi_1+isinvarphi_1), z_2=r_2(cosvarphi_2+isinvarphi_2).]

Тогда

    [begin{array}{l} z_1z_2=r_1r_2((cosvarphi_1cosvarphi_2-sinvarphi_1sinvarphi_2)+i(cosvarphi_1sinvarphi_2+sinvarphi_1cosvarphi_2))=\ =r_1r_2(cos(varphi_1+varphi_2)+isin(varphi_1+varphi_2)). end{array}]

Так как r_1,r_2>0, то можно применить лемму. varphi_1+varphi_2 — одно из значений {rm arg}, z.

Следствие.

    [(cosvarphi+isinvarphi)^n=cos nvarphi+isin nvarphi]

— формула Муавра.

Следствие. В условиях теоремы varphi_1-varphi_2=arg(z_1/z_2).

Доказательство.

    [{z_1over z_2}cdot z_2=z_1.]

Пусть psi=arg(z_1/z_2). По теореме

    [begin{array}{l} psi+varphi_2=arg z_1,\ psi+varphi_2=varphi_1+2pi k, kinmathbb{Z},\ varphi_1-varphi_2=psi-2pi k, kinmathbb{Z},\ varphi_1-varphi_2=arg(z_1/z_2). end{array}]

Следствие. Формула Муавра верна для любого целого показателя (целая отрицательная и нулевая степень для комплексных чисел вводится так же, как и для вещественных).

Доказательство. Пусть ninmathbb{N}.

    [begin{array}{l} displaystyle(cosvarphi+isinvarphi)^{-n}={1over (cosvarphi+isinvarphi)^n}= {cos0+isin0over cos nvarphi+isin nvarphi}=\[3mm] =cos(-nvarphi)+isin(-nvarphi). end{array}]

Следствие.

    [(cosvarphi-isinvarphi)^n=cos nvarphi-isin nvarphi.]

Доказательство.

    [begin{array}{l} (cosvarphi-isinvarphi)^n=(cos(-varphi)+isin(-varphi))^n=\ =cos(-nvarphi)+isin(-nvarphi)=cos nvarphi-isin nvarphi. end{array}]

Задачи.

1. Изобразите на комплексной плоскости числа

1) z=i

2) z=1-i;

3) z=3-5i.

2. Найдите модуль и аргумент чисел

1) z=-3;

2) z=1+i;

3) z=1-isqrt{3};

4) z=2-3i.

3. Изобразите на комплексной плоскости множество точек z, задаваемых условиями

1) |z|=5;

2) 1le|z|le2;

3) {rm arg} z=0;

4) |z-2+i|=2;

5) |z-2i|le|z-1+i|;

6) |z+i|-|z-i|=2;

7) |z-i|>|z+i| и |z|le |z-1+i|.

4. Найдите множество значений функций f с областью определения D(f):

1) f(z)=|z-2i+3|, D(f)=left{ zinmathbb{C}: |z-i|le2right};

2) f(z)=z+|z|, D(f)=mathbb{C}.

5. Используйте тригонометрическую форму и формулу Муавра для вычисления значений:

1) displaystyleleft(cosfrac{pi}{7}+isinfrac{pi}{7}right)^{14};

2) displaystyleleft(cosfrac{pi}{9}+isinfrac{pi}{9}right)^{-3};

3) left(1+isqrt{3}right)^3(1-i)^7;

4) displaystyleleft(1+frac{sqrt{3}}{2}+frac{i}{2}right)^{24}.

Ссылка на основную публикацию