21. Теоремы сложения

Теорема 1.

    [cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta .]

Доказательство. (alpha-beta)-0=alpha-beta.

Из свойства 6) (движение точки по окружности) следует, что расстояние между точками P(alpha-beta) и P(0) равно расстоянию между точками P(alpha) и P(beta). Координаты точек

    [begin{array}{ll} P(alpha-beta)&(cos(alpha-beta);sin(alpha-beta)),\ P(0)&(1;0),\ P(alpha)&(cosalpha;sinalpha),\ P(beta)&(cosbeta;sinbeta). end{array}]

    [begin{array}{l} (cos(alpha-beta)-1)^2+(sin(alpha-beta)-0)^2=(cosalpha-cosbeta)^2+ (sinalpha-sinbeta)^2,\ cos^2(alpha-beta)-2cos(alpha-beta)+1+sin^2(alpha-beta)=\ =cos^2alpha-2cosalphacosbeta+cos^2beta+sin^2alpha -2sinalphasinbeta+sin^2beta,\ 1-2cos(alpha-beta)+1=1-2cosalphacosbeta_1-2sinalphasinbeta. end{array}]

    [fbox{$cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+ sinalphasinbeta$}]

Теорема 2.

    [alpha+beta={piover 2}Rightarrowcosalpha=sinbeta,cosbeta=sinalpha .]

Доказательство. Воспользуемся рисунком (см. рис. 38):

Рис. 38

    [begin{array}{c} displaystyle cosbeta=cosleft({piover 2}-alpharight)=\[2mm] displaystyle =cos{piover 2}cosalpha+sin{piover 2}sinalpha=\[2mm] =sinalpha end{array}]

Аналогично cosalpha=sinbeta.

Теорема 3.

    [sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta .]

Доказательство.

    [begin{array}{l} displaystyle sin(alpha+beta)stackrel{mbox{tinyrm T.2}}{=}cosleft({piover 2}-(alpha+beta)right)=cosleft(left({piover 2}-alpharight)-betaright)=\[2mm] displaystyle stackrel{mbox{tinyrm T.1}}{=}cosleft({piover 2}-alpharight)cosbeta+sinleft({piover 2}-alpharight)sinbetastackrel{mbox{tinyrm T.2}}{=}sinalphacosbeta+cosalphasinbeta. end{array}]

    [fbox{$sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+ cosalphasinbeta$}]

Вычисление sinpi и cospi

    [begin{array}{l} displaystyle sinpi=sinleft({piover 2}+{piover 2}right) stackrel{mbox{tinyrm T.3}}{=}sin{piover 2}cos{piover 2}+cos{piover 2}sin{piover 2}=0,\[2mm] cos^2pi=1-sin^2pi=1. end{array}]

cospi=1 или cospi=-1.

Если cospi=1, то P(pi)=P(0)stackrel{rm 5)}{Rightarrow}displaystyle {pi-0over 2pi}inmathbb{Z}displaystyleRightarrow {1over 2}inmathbb{Z}.

Следовательно, cospine1. Следовательно, cospi=-1.

Вычисление синуса и косинуса displaystyle {3piover 2}

    [begin{array}{l} displaystyle sin{3piover 2}=sinleft(pi+{piover 2}right)stackrel{mbox{tinyrm T.3}}{=}sinpicos{piover 2}+cospisin{piover 2}=-1,\[2mm] displaystyle cos^2{3piover 2}=1-sin^2{3piover 2}=0,\[3mm] displaystyle cos{3piover 2}=0. end{array}]

Вычисление синуса и косинуса 2pi

    [begin{array}{l} sin2pi=sin(pi+pi)=sinpicospi+cospisinpi=0,\ cos^22pi=1-sin^22pi=1, end{array}]

cos2pi=1 или cos2pi=-1.

Если cos2pi=-1, то P(2pi)=P(pi)

stackrel{rm 5)}{Rightarrow}displaystyle{2pi-piover 2pi}inmathbb{Z}Rightarrow {1over 2}inmathbb{Z}.

Следовательно, cos2pine-1. Следовательно, cos2pi=1.

Теорема 4.

    [cos(-alpha)=cosalpha .]

Доказательство.

    [cos(-alpha)=cos(0-alpha)stackrel{mbox{rmtiny T.1}}{=}cos0cosalpha+sin0sinalpha=cosalpha.]

Теорема 5.

    [cos(2pi+alpha)=cosalpha, sin(2pi+alpha)=sinalpha.]

Доказательство.

    [begin{array}{l} sin(2pi+alpha)stackrel{mbox{tinyrm T.3}}{=}sin2picosalpha+cos2pisinalpha=sinalpha.\ cos(2pi+alpha)=cos(2pi-(-alpha))stackrel{mbox{tinyrm T.1}}{=}cos2picos(-alpha)+sin2pisin(-alpha)=\ =cos(-alpha)stackrel{mbox{tinyrm T.4}}{=}cosalpha. end{array}]

Следствие 1.

    [forall kinmathbb{Z} cos(2pi k+alpha)=cosalpha, sin(2pi k+alpha)=sinalpha .]

Следствие 2.

    [forall ninmathbb{Z} sinpi n=0.]

Доказательство. pi n отличается на 2kpi от 0 или от pikinmathbb{Z}, а sin0=0 и sinpi=0.

Теорема 6.

    [sin(-alpha)=-sinalpha.]

Доказательство.

    [sin^2(-alpha)=1-cos^2(-alpha)stackrel{mbox{tinyrm T.4}}{=}1-cos^2alpha=sin^2alpha ,]

sin(-alpha)=sinalpha или sin(-alpha)=-sinalpha.

Предположим, что sin(-alpha)=sinalpha, cos(-alpha)stackrel{mbox{tinyrm T.4}}{=}cosalpha.

Следовательно,

    [begin{array}{l} P(alpha)=P(-alpha)stackrel{rm 5)}{Rightarrow}alpha-(-alpha)=2pi k, kinmathbb{Z} Rightarrow 2alpha=2pi kquad(kinmathbb{Z})\ Rightarrow alpha=pi k, -alpha=pi(-k)quad (kinmathbb{Z})\ Rightarrow sinalpha=0, sin(-alpha)=0 Rightarrow sin(-alpha)=-sinalpha. end{array}]

Теорема 7.

    [begin{array}{l} sin(alpha-beta)=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha,\ cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta. end{array}]

Доказательство.

    [begin{array}{l} sin(alpha-beta)=sin(alpha+(-beta))=sinalphacos(-beta)-cosalphasin(-beta)=\ =sinalphacosbeta+cosalphasinbeta,\[3mm] cos(alpha+beta)=cos(alpha-(-beta))=cosalphacos(-beta)+sinalphasin(-beta)=\ =cosalphacosbeta-sinalphasinbeta. end{array}]

Задачи.

1) Упростите

1. sin 13^{circ}cos 17^{circ}+sin 17^{circ}cos 13^{circ}.

2. cos 8^{circ}cos 37^{circ}-cos 82^{circ}cos 53^{circ}.

2) Упростите выражения

1. sin3alphacos2alpha-cos3alphasin2alpha.

2. displaystyle frac{sin(alpha+beta)-2sinalphacosbeta}{cos(alpha+beta)+2sinalphacosbeta}.

3. displaystyle frac{cos2alpha}{sinalpha+cosalpha}.

Ссылка на основную публикацию