21. Теоремы сложения

Теорема 1.

Доказательство. $(alpha-beta)-0=alpha-beta$ .

Из свойства 6) (движение точки по окружности) следует, что расстояние между точками $P(alpha-beta)$ и $P(0)$ равно расстоянию между точками $P(alpha)$ и $P(beta)$ . Координаты точек

$[begin{array}{ll} P(alpha-beta)&(cos(alpha-beta);sin(alpha-beta)),\ P(0)&(1;0),\ P(alpha)&(cosalpha;sinalpha),\ P(beta)&(cosbeta;sinbeta). end{array}]$

$[begin{array}{l} (cos(alpha-beta)-1)^2+(sin(alpha-beta)-0)^2=(cosalpha-cosbeta)^2+ (sinalpha-sinbeta)^2,\ cos^2(alpha-beta)-2cos(alpha-beta)+1+sin^2(alpha-beta)=\ =cos^2alpha-2cosalphacosbeta+cos^2beta+sin^2alpha -2sinalphasinbeta+sin^2beta,\ 1-2cos(alpha-beta)+1=1-2cosalphacosbeta_1-2sinalphasinbeta. end{array}]$

Теорема 2.

Доказательство. Воспользуемся рисунком (см. рис. 38):

Рис. 38

$[begin{array}{c} displaystyle cosbeta=cosleft({piover 2}-alpharight)=\[2mm] displaystyle =cos{piover 2}cosalpha+sin{piover 2}sinalpha=\[2mm] =sinalpha end{array}]$

Аналогично $cosalpha=sinbeta$ .

Теорема 3.

Доказательство.

$[begin{array}{l} displaystyle sin(alpha+beta)stackrel{mbox{tinyrm T.2}}{=}cosleft({piover 2}-(alpha+beta)right)=cosleft(left({piover 2}-alpharight)-betaright)=\[2mm] displaystyle stackrel{mbox{tinyrm T.1}}{=}cosleft({piover 2}-alpharight)cosbeta+sinleft({piover 2}-alpharight)sinbetastackrel{mbox{tinyrm T.2}}{=}sinalphacosbeta+cosalphasinbeta. end{array}]$

Вычисление $sinpi$ и $cospi$

$[begin{array}{l} displaystyle sinpi=sinleft({piover 2}+{piover 2}right) stackrel{mbox{tinyrm T.3}}{=}sin{piover 2}cos{piover 2}+cos{piover 2}sin{piover 2}=0,\[2mm] cos^2pi=1-sin^2pi=1. end{array}]$

$cospi=1$ или $cospi=-1$ .

Если $cospi=1$ , то $P(pi)=P(0)$ $stackrel{rm 5)}{Rightarrow}$ $displaystyle {pi-0over 2pi}inmathbb{Z}$ $displaystyleRightarrow {1over 2}inmathbb{Z}$ .

Следовательно, $cospine1$ . Следовательно, $cospi=-1$ .

Вычисление синуса и косинуса $displaystyle {3piover 2}$

$[begin{array}{l} displaystyle sin{3piover 2}=sinleft(pi+{piover 2}right)stackrel{mbox{tinyrm T.3}}{=}sinpicos{piover 2}+cospisin{piover 2}=-1,\[2mm] displaystyle cos^2{3piover 2}=1-sin^2{3piover 2}=0,\[3mm] displaystyle cos{3piover 2}=0. end{array}]$

Вычисление синуса и косинуса $2pi$

$[begin{array}{l} sin2pi=sin(pi+pi)=sinpicospi+cospisinpi=0,\ cos^22pi=1-sin^22pi=1, end{array}]$

$cos2pi=1$ или $cos2pi=-1$ .

Если $cos2pi=-1$ , то $P(2pi)=P(pi)$

$stackrel{rm 5)}{Rightarrow}$ $displaystyle{2pi-piover 2pi}inmathbb{Z}$ $Rightarrow {1over 2}inmathbb{Z}$ .

Следовательно, $cos2pine-1$ . Следовательно, $cos2pi=1$ .

Теорема 4.

Доказательство.

Теорема 5.

Доказательство.

$[begin{array}{l} sin(2pi+alpha)stackrel{mbox{tinyrm T.3}}{=}sin2picosalpha+cos2pisinalpha=sinalpha.\ cos(2pi+alpha)=cos(2pi-(-alpha))stackrel{mbox{tinyrm T.1}}{=}cos2picos(-alpha)+sin2pisin(-alpha)=\ =cos(-alpha)stackrel{mbox{tinyrm T.4}}{=}cosalpha. end{array}]$

Следствие 1.

Следствие 2.

Доказательство. $pi n$ отличается на $2kpi$ от $0$ или от $pi$ $kinmathbb{Z}$ , а $sin0=0$ и $sinpi=0$ .

Теорема 6.

Доказательство.

$[sin^2(-alpha)=1-cos^2(-alpha)stackrel{mbox{tinyrm T.4}}{=}1-cos^2alpha=sin^2alpha ,]$

$sin(-alpha)=sinalpha$ или $sin(-alpha)=-sinalpha$ .

Предположим, что $sin(-alpha)=sinalpha$ , $cos(-alpha)stackrel{mbox{tinyrm T.4}}{=}cosalpha$ .

Следовательно,

$[begin{array}{l} P(alpha)=P(-alpha)stackrel{rm 5)}{Rightarrow}alpha-(-alpha)=2pi k, kinmathbb{Z} Rightarrow 2alpha=2pi kquad(kinmathbb{Z})\ Rightarrow alpha=pi k, -alpha=pi(-k)quad (kinmathbb{Z})\ Rightarrow sinalpha=0, sin(-alpha)=0 Rightarrow sin(-alpha)=-sinalpha. end{array}]$

Теорема 7.

$[begin{array}{l} sin(alpha-beta)=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha,\ cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta. end{array}]$

Доказательство.

$[begin{array}{l} sin(alpha-beta)=sin(alpha+(-beta))=sinalphacos(-beta)-cosalphasin(-beta)=\ =sinalphacosbeta+cosalphasinbeta,\[3mm] cos(alpha+beta)=cos(alpha-(-beta))=cosalphacos(-beta)+sinalphasin(-beta)=\ =cosalphacosbeta-sinalphasinbeta. end{array}]$

Задачи.

1) Упростите

1. $sin 13^{circ}cos 17^{circ}+sin 17^{circ}cos 13^{circ}$ .

2. $cos 8^{circ}cos 37^{circ}-cos 82^{circ}cos 53^{circ}$ .

2) Упростите выражения

1. $sin3alphacos2alpha-cos3alphasin2alpha$ .

2. $displaystyle frac{sin(alpha+beta)-2sinalphacosbeta}{cos(alpha+beta)+2sinalphacosbeta}$ .

3. $displaystyle frac{cos2alpha}{sinalpha+cosalpha}$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40