21. Определение интеграла и его свойства

Определение. Пусть f:[a,b]tomathbb{R}. Пусть T:Psitomathbb{R}, T аддитивна, и ее плотность равна f. Тогда T называется интегралом.

Обозначение. Пусть [alpha,beta]subset[a,b]. Значение функции T на отрезке [alpha,beta]:

    [T[alpha,beta]=int_{alpha}^{beta}fdx=int_{alpha}^{beta}f(x)dx .]

Теорема (Ньютон, Лейбниц). Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, F — первообразная функции f. Тогда forall [alpha,beta]subset[a,b]

    [int_{alpha}^{beta}f(x)dx=F(beta)-F(alpha) .]

Доказательство. По теореме о плотности аддитивной функции промежутка, f(x)=F^{prime}(x) и равна плотности функции Delta F. По определению тогда Delta F — интеграл функции f.

forall[alpha,beta]subset[a,b]

    [(Delta f)[alpha,beta]=int_{alpha}^{beta}f(x)dx=F(beta)-F(alpha)=left. Fright|_{alpha}^{beta} .]

Свойства интеграла

1. forall [alpha,beta],[beta,gamma]subset[a,b]

    [int_{alpha}^{beta}f(x)dx+int_{beta}^{gamma}f(x)dx =int_{alpha}^{gamma}f(x)dx.]

2. displaystyle int_{alpha}^{beta}(f(x)+g(x))dx=int_{alpha}^{beta}f(x)dx+ int_{alpha}^{beta}g(x)dx.

Доказательство. Пусть F — первообразная fG — первообразная g. Тогда F+G — первообразная f+g.

    [begin{array}{l} displaystyle int_{alpha}^{beta}(f(x)+g(x))dx=(F+G)(beta)-(F+G)(alpha) =F(beta)-F(alpha)+G(beta)-G(alpha)=\[2mm] displaystyle =int_{alpha}^{beta}f(x)dx+int_{alpha}^{beta}g(x)dx . end{array}]

3. displaystyle int_{alpha}^{beta}cf(x)dx=cint_{alpha}^{beta}f(x)dx.

4. Пусть функция g:[a,b]tomathbb{R}, g дифференцируема. Пусть функция f задана на промежутке, содержащем множество значений функции g(g([a,b])), причем g(a)le g(b). Пусть у функции f есть первообразная. Тогда

    [int_{a}^{b}f(g(x))g^{prime}(x)dx=int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx .]

Доказательство. Пусть F — первообразная функции f. Тогда

    [begin{array}{l} displaystyle int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=F(g(b))-F(g(a)),\[2mm] f(g(x))g^{prime}(x)=F^{prime}(g(x))g^{prime}(x)=(Fcirc g)^{prime}(x),\[2mm] displaystyle int_{a}^{b}f(g(x))g^{prime}(x)dx=Fcirc g(b)-fcirc g(a)=F(g(b))-F(g(a)). end{array}]

Следствие. Пусть alpha>0. Тогда

    [int_{a}^{b}alpha f(alpha x+beta)dx=int_{alpha a+beta}^{alpha b+beta}f(x)dx .]

Доказательство. Положим g(x)=alpha x+beta, alpha>0, применим предыдущую теорему:

    [int_{a}^{b}f(alpha x+beta)dx={1over alpha}int_{alpha a+beta}^{alpha b+beta} f(x)dx .]

5. Пусть f,g:[a,b]tomathbb{R}, функции f и g дифференцируемы, функция f^{prime}g имеет первообразную. Тогда

    [int_{a}^{b}f^{prime}(x)g(x)dx=left. f(x)g(x)right|_a^b-int_{a}^{b}f(x)g^{prime}(x)dx.]

Доказательство.

    [(fg)^{prime}(x)=f^{prime}(x)g(x)+f(x)g^{prime}(x) .]

Функции (fg)^{prime} и f^{prime}g имеют первообразные, поэтому и функция fg^{prime} также имеет первообразную, и можем записать

    [begin{array}{l} displaystyle int_{a}^{b}(fg)^{prime}(x)dx=int_{a}^{b}f^{prime}(x)g(x)dx+int_{a}^{b}f(x)g^{prime}(x)dx,\[2mm] displaystyle int_{a}^{b}(gf)^{prime}(x)dx=left. fg(x)right|_{a}^{b}=left. f(x)g(x)right|_{a}^{b} . end{array}]

Определение. Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, alpha,betain[a,b], alpha>beta. Тогда

    [int_{alpha}^{beta}f(x)dx=-int_{beta}^{alpha}f(x)dx .]

Задача 1. Пусть alpha,beta,gammain[a,b]. Докажите, что

    [int_{alpha}^{beta}f(x)dx+int_{beta}^{gamma}f(x)dx=int_{alpha}^{gamma}f(x)dx.]

Выясните при всех расположениях alpha,beta и gamma с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

6. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом

Учитель Ньютона и его предшественник по кафедре в Кембриджском университете английский математик, философ и богослов Исаак Барроу (1630–1677) в детстве не проявлял интереса к учебе. В юношеские годы Исаак отличался веселым нравом и необыкновенным трудолюбием. Однажды на экзамене между капелланом и студентом Барроу произошел следующий диалог:

К а п е л л а н: Что такое вера?

Б а р р о у: То, чего не видишь.

К а п е л л а н: Что такое надежда?

Б а р р о у: Великое дело.

К а п е л л а н: Что такое любовь?

Б а р р о у: Большая редкость.

Дерзкие ответы Барроу возмутили капеллана, и он сообщил об этом епископу. Однако у епископа ответы Барроу вызвали лишь улыбку, и тем самым, инцидент был исчерпан.

Теорема (Барроу). Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, функция f имеет первообразную. Рассмотрим функцию F, заданную на отрезке [a,b] по правилу

    [F(x)=int_{a}^{x}f(t)dt.]

Тогда F^{prime}(x)=f(x).

Доказательство. Пусть G(x) — одна из первообразных функции f. Тогда

    [int_{a}^{x}f(t)dt=G(x)-G(a) .]

forall xin[a,b]G(x)-G(a)=F(x)RightarrowG(x)
первообразная функции f(x).

7. Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, функция f имеет первообразную. Если forall xin[a,b]f(x)ge0, то displaystyle int_{a}^{b}f(x)dxge0.

Доказательство. Пусть F^{prime}(x)=f(x).

    [begin{array}{l} displaystyle int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),\[2mm] f=F^{prime}ge0. end{array}]

Следовательно, функция F возрастает, значит, F(b)ge F(a).

8. Пусть f,g:[a,b]tomathbb{R}, функции f и g имеют первообразные. Если forall xin[a,b]f(x)ge g(x), то

    [int_{a}^{b}f(x)dxgeint_{a}^{b}g(x)dx.]

Доказательство.

    [begin{array}{l} displaystyle forall xin[a,b] f(x)ge g(x)Rightarrow f(x)-g(x)ge0Rightarrow int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dxge0Rightarrow\[2mm] displaystyle Rightarrow int_{a}^{b}f(x)dxgeint_{a}^{b}g(x)dx . end{array}]

9. Пусть f,g:[a,b]tomathbb{R}, f,g имеют первообразные, alpha,betain[a,b], alpha>beta, forall xin[a,b]f(x)ge g(x). Тогда displaystyle int_{beta}^{alpha}f(x)dxleint_{beta}^{alpha}g(x)dx.

Доказательство.

    [int_{alpha}^{beta}f(x)dx=-int_{beta}^{alpha}f(x)dx, int_{alpha}^{beta}g(x)dx=-int_{beta}^{alpha}g(x)dxRightarrow int_{alpha}^{beta}f(x)dxleqquad leint_{alpha}^{beta}g(x)dx.]

10. Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, функция f непрерывна. Тогда

    [left|int_{a}^{b}f(x)dxright|leint_{a}^{b}|f(x)|dx.]

Доказательство.

    [begin{array}{l} f(x)le|f(x)|, -f(x)le|f(x)|,\[2mm] displaystyle int_{a}^{b}f(x)dxleint_{a}^{b}|f(x)|dx,\[2mm] displaystyle int_{a}^{b}-f(x)dxleint_{a}^{b}|f(x)|dxRightarrow -int_{a}^{b}f(x)dxleint_{a}^{b}|f(x)|dx . end{array}]

Отсюда

    [left|int_{a}^{b}f(x)dxright|leint_{a}^{b}|f(x)|dx.]

Задача 2. Сформулируйте и докажите утверждение для случая age b.

11. Теорема о среднем

Теорема. Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, функция f имеет первообразную, m,Minmathbb{R} и forall xin[a,b] выполняется неравенство

    [mle f(x)le M.]

Тогда displaystyle mle{int_{a}^{b}f(x)dxover b-a}le M.

Доказательство. Проинтегрируем неравенство и затем поделим получившееся неравенство на b-a.

Определение. Число displaystyle {int_{a}^{b}f(x)dxover b-a} называется средним значением функции f на отрезке [a,b].

Задачи.

1. Вычислите интегралы

1) displaystyle int_{-1}^55dx;

2) displaystyle int_0^2(2x^3-x-1)dx;

3) displaystyle int_2^8frac{dx}{sqrt{x}};

4) displaystyleint_1^2frac{2x^3+3x-2}{x^5}dx;

5) displaystyle int_0^1frac{x^3+x+1}{x^2+1}dx;

6) displaystyle int_0^{pi}(sin x-3cos x-x)dx;

7) displaystyle int_{-1}^1 (|2x-1|-|x|)^2dx.

2. Сделав замену переменных, вычислите интегралы

1) displaystyle int_0^{pi/2}sin3x dx;

2) displaystyle int_0^1(3x+1)^7dx;

3) displaystyle int_0^2frac{dx}{x^2+4};

4) displaystyle int_0^1sqrt[3]{2x-|x-2|};

5) displaystyle int_0^1 x^2sqrt{x^3+1}dx;

6) displaystyle int_0^1frac{sqrt{x}}{1+x^3}dx.

3. Докажите, что для нечетной интегрируемой на отрезке [-a,a] функции f

    [int_{-a}^a f(x)dx=0 ,]

а для четной интегрируемой на отрезке [-a,a] функции f

    [int_{-a}^a f(x)dx=2int_0^a f(x)dx .]

4. С помощью теоремы о среднем докажите неравенства

1) displaystyle 9<int_8^{18}frac{x+1}{x+2}dx<9,5;

2) displaystyle 8<int_{1,5}^{3,5}frac{x^2}{x-1}dx<10.

5. Интеграл с переменным верхним пределом.

1) displaystyle F(x)=int_0^xfrac{sin t}{t^2+1}dt</tex>. Найдите <tex>F^{prime}(0),F^{prime}(pi),F^{prime}left(-frac{pi}{2}right).

2) displaystyle F(x)=int_0^{x^2+1}sqrt[3]{1+t^4}dt. Найдите функцию F^{prime}.

3) displaystyle F(x)=int_{sin x}^{cos x}sqrt{1+t^2}dt. В каких точках функция F принимает свое наибольшее значение?

Ссылка на основную публикацию