21. Определение интеграла и его свойства

Определение. Пусть $f:[a,b]tomathbb{R}$ . Пусть $T:Psitomathbb{R}$ , $T$ аддитивна, и ее плотность равна $f$ . Тогда $T$ называется интегралом.

Обозначение. Пусть $[alpha,beta]subset[a,b]$ . Значение функции $T$ на отрезке $[alpha,beta]$ :

$[T[alpha,beta]=int_{alpha}^{beta}fdx=int_{alpha}^{beta}f(x)dx .]$

Теорема (Ньютон, Лейбниц). Пусть $f:[a,b]tomathbb{R}$ , $F$ — первообразная функции $f$ . Тогда $forall [alpha,beta]subset[a,b]$

$[int_{alpha}^{beta}f(x)dx=F(beta)-F(alpha) .]$

Доказательство. По теореме о плотности аддитивной функции промежутка, $f(x)=F^{prime}(x)$ и равна плотности функции $Delta F$ . По определению тогда $Delta F$ — интеграл функции $f$ .

$forall[alpha,beta]subset[a,b]$

$[(Delta f)[alpha,beta]=int_{alpha}^{beta}f(x)dx=F(beta)-F(alpha)=left. Fright|_{alpha}^{beta} .]$

Свойства интеграла

1. $forall [alpha,beta],[beta,gamma]subset[a,b]$

$[int_{alpha}^{beta}f(x)dx+int_{beta}^{gamma}f(x)dx =int_{alpha}^{gamma}f(x)dx.]$

2. $displaystyle int_{alpha}^{beta}(f(x)+g(x))dx=int_{alpha}^{beta}f(x)dx+ int_{alpha}^{beta}g(x)dx$ .

Доказательство. Пусть $F$ — первообразная $f$ , $G$ — первообразная $g$ . Тогда $F+G$ — первообразная $f+g$ .

$[begin{array}{l} displaystyle int_{alpha}^{beta}(f(x)+g(x))dx=(F+G)(beta)-(F+G)(alpha) =F(beta)-F(alpha)+G(beta)-G(alpha)=\[2mm] displaystyle =int_{alpha}^{beta}f(x)dx+int_{alpha}^{beta}g(x)dx . end{array}]$

3. $displaystyle int_{alpha}^{beta}cf(x)dx=cint_{alpha}^{beta}f(x)dx$ .

4. Пусть функция $g:[a,b]tomathbb{R}$ , $g$ дифференцируема. Пусть функция $f$ задана на промежутке, содержащем множество значений функции $g$ $(g([a,b]))$ , причем $g(a)le g(b)$ . Пусть у функции $f$ есть первообразная. Тогда

$[int_{a}^{b}f(g(x))g^{prime}(x)dx=int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx .]$

Доказательство. Пусть $F$ — первообразная функции $f$ . Тогда

$[begin{array}{l} displaystyle int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=F(g(b))-F(g(a)),\[2mm] f(g(x))g^{prime}(x)=F^{prime}(g(x))g^{prime}(x)=(Fcirc g)^{prime}(x),\[2mm] displaystyle int_{a}^{b}f(g(x))g^{prime}(x)dx=Fcirc g(b)-fcirc g(a)=F(g(b))-F(g(a)). end{array}]$

Следствие. Пусть $alpha>0$ . Тогда

$[int_{a}^{b}alpha f(alpha x+beta)dx=int_{alpha a+beta}^{alpha b+beta}f(x)dx .]$

Доказательство. Положим $g(x)=alpha x+beta, alpha>0$ , применим предыдущую теорему:

$[int_{a}^{b}f(alpha x+beta)dx={1over alpha}int_{alpha a+beta}^{alpha b+beta} f(x)dx .]$

5. Пусть $f,g:[a,b]tomathbb{R}$ , функции $f$ и $g$ дифференцируемы, функция $f^{prime}g$ имеет первообразную. Тогда

$[int_{a}^{b}f^{prime}(x)g(x)dx=left. f(x)g(x)right|_a^b-int_{a}^{b}f(x)g^{prime}(x)dx.]$

Доказательство.

$[(fg)^{prime}(x)=f^{prime}(x)g(x)+f(x)g^{prime}(x) .]$

Функции $(fg)^{prime}$ и $f^{prime}g$ имеют первообразные, поэтому и функция $fg^{prime}$ также имеет первообразную, и можем записать

$[begin{array}{l} displaystyle int_{a}^{b}(fg)^{prime}(x)dx=int_{a}^{b}f^{prime}(x)g(x)dx+int_{a}^{b}f(x)g^{prime}(x)dx,\[2mm] displaystyle int_{a}^{b}(gf)^{prime}(x)dx=left. fg(x)right|_{a}^{b}=left. f(x)g(x)right|_{a}^{b} . end{array}]$

Определение. Пусть $f:[a,b]tomathbb{R}$ , $alpha,betain[a,b]$ , $alpha>beta$ . Тогда

$[int_{alpha}^{beta}f(x)dx=-int_{beta}^{alpha}f(x)dx .]$

Задача 1. Пусть $alpha,beta,gammain[a,b]$ . Докажите, что

$[int_{alpha}^{beta}f(x)dx+int_{beta}^{gamma}f(x)dx=int_{alpha}^{gamma}f(x)dx.]$

Выясните при всех расположениях $alpha,beta$ и $gamma$ с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

6. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом

Учитель Ньютона и его предшественник по кафедре в Кембриджском университете английский математик, философ и богослов Исаак Барроу (1630–1677) в детстве не проявлял интереса к учебе. В юношеские годы Исаак отличался веселым нравом и необыкновенным трудолюбием. Однажды на экзамене между капелланом и студентом Барроу произошел следующий диалог:

К а п е л л а н: Что такое вера?

Б а р р о у: То, чего не видишь.

К а п е л л а н: Что такое надежда?

Б а р р о у: Великое дело.

К а п е л л а н: Что такое любовь?

Б а р р о у: Большая редкость.

Дерзкие ответы Барроу возмутили капеллана, и он сообщил об этом епископу. Однако у епископа ответы Барроу вызвали лишь улыбку, и тем самым, инцидент был исчерпан.

Теорема (Барроу). Пусть $f:[a,b]tomathbb{R}$ , функция $f$ имеет первообразную. Рассмотрим функцию $F$ , заданную на отрезке $[a,b]$ по правилу

$[F(x)=int_{a}^{x}f(t)dt.]$

Тогда $F^{prime}(x)=f(x)$ .

Доказательство. Пусть $G(x)$ — одна из первообразных функции $f$ . Тогда

$[int_{a}^{x}f(t)dt=G(x)-G(a) .]$

$forall xin[a,b]$ $G(x)-G(a)=F(x)$ $Rightarrow$ $G(x)$ —
первообразная функции $f(x)$ .

7. Пусть $f:[a,b]tomathbb{R}$ , функция $f$ имеет первообразную. Если $forall xin[a,b]$ $f(x)ge0$ , то $displaystyle int_{a}^{b}f(x)dxge0$ .

Доказательство. Пусть $F^{prime}(x)=f(x)$ .

$[begin{array}{l} displaystyle int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),\[2mm] f=F^{prime}ge0. end{array}]$

Следовательно, функция $F$ возрастает, значит, $F(b)ge F(a)$ .

8. Пусть $f,g:[a,b]tomathbb{R}$ , функции $f$ и $g$ имеют первообразные. Если $forall xin[a,b]$ $f(x)ge g(x)$ , то

$[int_{a}^{b}f(x)dxgeint_{a}^{b}g(x)dx.]$

Доказательство.

$[begin{array}{l} displaystyle forall xin[a,b] f(x)ge g(x)Rightarrow f(x)-g(x)ge0Rightarrow int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dxge0Rightarrow\[2mm] displaystyle Rightarrow int_{a}^{b}f(x)dxgeint_{a}^{b}g(x)dx . end{array}]$

9. Пусть $f,g:[a,b]tomathbb{R}$ , $f,g$ имеют первообразные, $alpha,betain[a,b]$ , $alpha>beta$ , $forall xin[a,b]$ $f(x)ge g(x)$ . Тогда $displaystyle int_{beta}^{alpha}f(x)dxleint_{beta}^{alpha}g(x)dx$ .

Доказательство.

$[int_{alpha}^{beta}f(x)dx=-int_{beta}^{alpha}f(x)dx, int_{alpha}^{beta}g(x)dx=-int_{beta}^{alpha}g(x)dxRightarrow int_{alpha}^{beta}f(x)dxleqquad leint_{alpha}^{beta}g(x)dx.]$

10. Пусть $f:[a,b]tomathbb{R}$ , функция $f$ непрерывна. Тогда

$[left|int_{a}^{b}f(x)dxright|leint_{a}^{b}|f(x)|dx.]$

Доказательство.

$[begin{array}{l} f(x)le|f(x)|, -f(x)le|f(x)|,\[2mm] displaystyle int_{a}^{b}f(x)dxleint_{a}^{b}|f(x)|dx,\[2mm] displaystyle int_{a}^{b}-f(x)dxleint_{a}^{b}|f(x)|dxRightarrow -int_{a}^{b}f(x)dxleint_{a}^{b}|f(x)|dx . end{array}]$