Определение. Пусть . Пусть
,
аддитивна, и ее плотность равна
. Тогда
называется интегралом.
Обозначение. Пусть . Значение функции
на отрезке
:
Теорема (Ньютон, Лейбниц). Пусть ,
— первообразная функции
. Тогда
Доказательство. По теореме о плотности аддитивной функции промежутка, и равна плотности функции
. По определению тогда
— интеграл функции
.
Свойства интеграла
1.
2. .
Доказательство. Пусть — первообразная
,
— первообразная
. Тогда
— первообразная
.
3. .
4. Пусть функция ,
дифференцируема. Пусть функция
задана на промежутке, содержащем множество значений функции
, причем
. Пусть у функции
есть первообразная. Тогда
Доказательство. Пусть — первообразная функции
. Тогда
Следствие. Пусть . Тогда
Доказательство. Положим , применим предыдущую теорему:
5. Пусть , функции
и
дифференцируемы, функция
имеет первообразную. Тогда
Доказательство.
Функции и
имеют первообразные, поэтому и функция
также имеет первообразную, и можем записать
Определение. Пусть ,
,
. Тогда
Задача 1. Пусть . Докажите, что
Выясните при всех расположениях и
с помощью формулы Ньютона — Лейбница.
6. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом
Учитель Ньютона и его предшественник по кафедре в Кембриджском университете английский математик, философ и богослов Исаак Барроу (1630–1677) в детстве не проявлял интереса к учебе. В юношеские годы Исаак отличался веселым нравом и необыкновенным трудолюбием. Однажды на экзамене между капелланом и студентом Барроу произошел следующий диалог:
К а п е л л а н: Что такое вера?
Б а р р о у: То, чего не видишь.
К а п е л л а н: Что такое надежда?
Б а р р о у: Великое дело.
К а п е л л а н: Что такое любовь?
Б а р р о у: Большая редкость.
Дерзкие ответы Барроу возмутили капеллана, и он сообщил об этом епископу. Однако у епископа ответы Барроу вызвали лишь улыбку, и тем самым, инцидент был исчерпан.
Теорема (Барроу). Пусть , функция
имеет первообразную. Рассмотрим функцию
, заданную на отрезке
по правилу
Тогда .
Доказательство. Пусть — одна из первообразных функции
. Тогда
—
первообразная функции .
7. Пусть , функция
имеет первообразную. Если
, то
.
Доказательство. Пусть .
Следовательно, функция возрастает, значит,
.
8. Пусть , функции
и
имеют первообразные. Если
, то
Доказательство.
9. Пусть ,
имеют первообразные,
,
,
. Тогда
.
Доказательство.
10. Пусть , функция
непрерывна. Тогда
Доказательство.
Отсюда
Задача 2. Сформулируйте и докажите утверждение для случая .
11. Теорема о среднем
Теорема. Пусть , функция
имеет первообразную,
и
выполняется неравенство
Тогда .
Доказательство. Проинтегрируем неравенство и затем поделим получившееся неравенство на .
Определение. Число называется средним значением функции
на отрезке
.
Задачи.
1. Вычислите интегралы
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
2. Сделав замену переменных, вычислите интегралы
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
3. Докажите, что для нечетной интегрируемой на отрезке функции
а для четной интегрируемой на отрезке функции
4. С помощью теоремы о среднем докажите неравенства
1) ;
2) .
5. Интеграл с переменным верхним пределом.
1) .
2) . Найдите функцию
.
3) . В каких точках функция
принимает свое наибольшее значение?