21. Неравенство Коши – Буняковского

    [sum_{i=1}^na_i^2cdotsum_{i=1}^nb_i^2geleft(sum_{i=1}^na_ib_iright)^2,]

В основе доказательства лежит утверждение, что дискриминант неотрицательной квадратичной функции неположителен.

Рассмотрим функцию

    [f(x)=sum_{i=1}^n(a_ix-b_i)^2=x^2cdotsum_{i=1}^na_i^2-2xcdot sum_{i=1}^na_ib_i+sum_{i=1}^nb_i^2ge 0.]

Неположительность дискриминанта этой функции и есть требуемое неравенство.

На неравенстве Коши основан один полезный прием оценки выражений вида displaystylesum_{i=1}^n{x_iover y_i}:

    [sum_{i=1}^n{x_iover y_i}ge{displaystyleleft(sum_{i=1}^nx_iright)^2over displaystylesum_{i=1}^nx_iy_i}quad (x_1,x_2,ldots ,x_n,y_1,y_2,ldots ,y_n>0).]

Действительно,

    [begin{array}{l} displaystylesum_{i=1}^n{x_iover y_i}cdotsum_{i=1}^nx_iy_i=sum_{i=1}^n left(sqrt{x_iover y_i}right)^2cdotsum_{i=1}^n left(sqrt{x_iy_i}right)^2 \[5mm] displaystylegeleft(sum_{i=1}^nsqrt{x_iover y_i}cdotsqrt{x_iy_i}right)^2=left(sum_{i=1}^nx_iright)^2. end{array}]

Задачи.

1. Пусть a_1,a_2,ldots ,a_n,b_1,b_2,ldots ,b_n — вещественные числа. Доказать, что

    [sqrt{sum_{i=1}^na_i^2}+sqrt{sum_{i=1}^nb_i^2}gesqrt{sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^2}]

(неравенство треугольника).

2. Пусть a_1,a_2,ldots ,a_n,b_1,b_2,ldots ,b_n — вещественные числа. Доказать, что

    [left|sqrt{sum_{i=1}^na_i^2}-sqrt{sum_{i=1}^nb_i^2}right| lesum_{i=1}^n|a_i-b_i|.]

3. Пусть alpha_1,alpha_2,ldots ,alpha_n — вещественные числа. Доказать, что

    [left|prod_{i=1}^nsinalpha_i+prod_{i=1}^ncosalpha_iright|le 1.]

4. Пусть a_k=displaystyle{sum_{i=1}^{100}}{i^kover i+1}. Доказать, что

    [a_kcdot a_{k+2}>a_{k+1}^2.]

5. Пусть a,b,c — положительные числа. Доказать, что

    [{aover 2b+c}+{bover 2c+a}+{cover 2a+b}ge 1.]

6. Пусть a,b,c,d — положительные числа. Доказать, что

    [{aover 2b+c}+{bover 2c+d}+{cover 2d+a}+{dover 2a+b}ge {4over3}.]

7. Пусть a_1,a_2,ldots ,a_n — положительные числа. Доказать, что

    [sum_{i=1}^n{a_iover a_{i+1}+a_{i+2}}ge{displaystyleleft( sum_{i=1}^na_iright)^2overdisplaystylesum_{i=1}^na_i(a_{i+1}+a_{i+2})}quad (a_{n+1}=a_1,a_{n+2}=a_2).]

Ссылка на основную публикацию