Определение поля
Определение. Полем называется непустое множество, для элементов которого определено два действия, называемых сложением и умножением, которые удовлетворяют следующим аксиомам:
1. (коммутативность сложения);
2. (ассоциативность сложения);
3. (существование нуля);
4. (существование противоположного элемента);
5. (коммутативность умножения);
6. (ассоциативность умножения);
7. (существование единицы);
8. (существование обратного элемента);
9. (дистрибутивность);
10. (в поле должно существовать хотя бы два элемента).
Пример. Поля: — поле вещественных чисел,
— поле рациональных чисел,
Некоторые следствия из аксиом поля
1. Нуль есть только один.
Действительно, пусть есть два нуля и
:
Тогда и
.
2. У числа есть только одно противоположное.
Действительно, пусть их два и
. Тогда
3. .
Действительно, .
4. .
Действительно, . Аналогично
. Значит,
. Кроме того,
. Тогда
и .
Определение поля комплексных чисел
Определение. Полем комплексных чисел называется множество , обладающее следующими свойствами:
1. — поле;
2. (
содержит
). При этом предполагается, что действия в
в применении к элементам из
приводят к тем же результатам, что и действия в
.
3. Любое квадратное уравнение с вещественными коэффициентами имеет в поле корень.
4. Каждый элемент поля является корнем какого-либо квадратного уравнения с вещественными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение
Оно не имеет вещественных корней, но, по аксиоме 3, имеет корень в поле . Один из корней этого уравнения зафиксируем и обозначим
(image) — мнимая единица.
Пусть
Теорема. Любой элемент поля можно единственным образом представить в виде
, где
.
Доказательство.
Пусть — произвольный элемент
. По аксиоме 4,
— корень квадратного уравнения с коэффициентами из
Если — вещественное число, то его можно представить в виде
. Пусть
не является вещественным числом. Тогда квадратное уравнение
не имеет вещественных корней и имеет отрицательный дискриминант.
В любом случае имеет требуемый вид.
Докажем единственность.
Предположим, что . Тогда
Пусть . Тогда
Получаем, что . Это невозможно, значит,
. Тогда
.
Сопряженные комплексные числа
Представление комплексного числа в виде называется каноническим представлением комплексного числа. Число
называется вещественной частью числа
Число называется мнимой частью числа
Если , то число
называется мнимым числом. Если
, то
называется чисто мнимым числом.
Число называется комплексно сопряженным с
.
Теорема.
1. — вещественные числа,
неотрицательно.
2.
3. Число вещественно в том и только том случае, если
. Число
чисто мнимое, если
.
Доказательство.
1.
Первое утверждение доказано.
2. Второе доказывается аналогично.
3.
4.
Задачи.
1. Вычислите
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
2. Найдите вещественные решения уравнения
3. Вычислите
1) ;
2) ;
3) .
4. Докажите, что следующие числа вещественны
1) ;
2) .
5. Найдите все комплексные корни уравнений:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .