21. Комплексные числа

Определение поля

Определение. Полем называется непустое множество, для элементов которого определено два действия, называемых сложением и умножением, которые удовлетворяют следующим аксиомам:

1. $a+b=b+a$ (коммутативность сложения);

2. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность сложения);

3. $exists 0: forall a a+0=a$ (существование нуля);

4. $forall a exists (-a): a+(-a)=0$ (существование противоположного элемента);

5. $ab=ba$ (коммутативность умножения);

6. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность умножения);

7. $exists 1: forall a acdot1=a$ (существование единицы);

8. $forall ane0 exists a^{-1}: acdot a^{-1}=1$ (существование обратного элемента);

9. $(a+b)c=ac+bc$ (дистрибутивность);

10. $1ne0$ (в поле должно существовать хотя бы два элемента).

Пример. Поля: $mathbb{R}$ — поле вещественных чисел, $mathbb{Q}$ — поле рациональных чисел,

Некоторые следствия из аксиом поля

1. Нуль есть только один.

Действительно, пусть есть два нуля $0_1$ и $0_2$ :

Тогда $0_1+0_2=0_1$ и $0_1+0_2=0_2+0_1=0_2$ .

2. У числа есть только одно противоположное.

Действительно, пусть их два $(-a)$ и $b$ . Тогда

3. $ab=0,ane0Longrightarrow b=0$ .

Действительно, $a^{-1}cdot ab=b=0$ .

4. $(-a)(-b)=ab$ .

Действительно, $((-a)+a)b=0=(-a)b+ab$ . Аналогично
$a((-b)+b)=a(-b)+ab=0$ . Значит, $-(ab)=(-a)b=a(-b)$ . Кроме того, $-(-ab)=ab$ . Тогда

и $(-a)(-b)=-(a(-b))=ab$ .

Определение поля комплексных чисел

Определение. Полем комплексных чисел называется множество $mathbb{C}$ , обладающее следующими свойствами:

1. $mathbb{C}$ — поле;

2. $mathbb{C}supset mathbb{R}$ ( $mathbb{C}$ содержит $mathbb{R}$ ). При этом предполагается, что действия в $mathbb{C}$ в применении к элементам из $mathbb{R}$ приводят к тем же результатам, что и действия в $mathbb{R}$ .

3. Любое квадратное уравнение с вещественными коэффициентами имеет в поле $mathbb{C}$ корень.

4. Каждый элемент поля $mathbb{C}$ является корнем какого-либо квадратного уравнения с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение

Оно не имеет вещественных корней, но, по аксиоме 3, имеет корень в поле $mathbb{C}$ . Один из корней этого уравнения зафиксируем и обозначим $i$ (image) — мнимая единица.

Пусть $a,b,c,din mathbb{R}$

$[begin{array}{l} (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,\ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,\ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,\ displaystyle {a+biover c+di}={(a+bi)(c-di)over (c+di)(c-di)}={(ac+bd)+(bc-ad)iover c^2+d^2}= {ac+bdover c^2+d^2}+{bc-adover c^2+d^2}i. end{array}]$

Теорема. Любой элемент поля $mathbb{C}$ можно единственным образом представить в виде $a+bi$ , где $a,bin mathbb{R}$ .

Доказательство.

Пусть $gamma$ — произвольный элемент $mathbb{C}$ . По аксиоме 4, $gamma$ — корень квадратного уравнения с коэффициентами из $mathbb{R}$

$[ pz^2+qz+r=0qquad(p,q,rin mathbb{R},pne0).]$

$[begin{array}{l} pgamma^2+qgamma+r=0,\ gamma^2+{qover p}gamma+r=0,\ displaystyle left(gamma+{qover 2p}right)^2+{rover p}-{q^2over 4p^2}=0,\ displaystyle left(gamma+{qover 2p}right)^2={q^2-4rpover 4p^2}. end{array}]$

Если $gamma$ — вещественное число, то его можно представить в виде $gamma=gamma+0i$ . Пусть $gamma$ не является вещественным числом. Тогда квадратное уравнение $pz^2+qz+r=0$ не имеет вещественных корней и имеет отрицательный дискриминант.

$[begin{array}{l} q^2-4pr={cal D}<0\ displaystyle {{cal D}over 4p^2}=left({sqrt{-cal D}over 2p}iright)^2,\ displaystyle left(gamma+{qover 2p}right)^2-left({sqrt{-cal D}over 2p}iright)^2=0,\ displaystyle left(gamma+{q-isqrt{-cal D}over 2p}right)left(gamma+{q-isqrt{-cal D}over 2p}right)=0,\ displaystyle gamma=-{qover 2p}pm{isqrt{-cal D}over 2p}. end{array}]$

В любом случае $gamma$ имеет требуемый вид.
Докажем единственность.

Предположим, что $gamma=a+bi=a_1+b_1i$ . Тогда

Пусть $b_1ne b$ . Тогда

$[{a-a_1over b_1-b}=i.]$

Получаем, что $iin mathbb{R}$ . Это невозможно, значит, $b_1=b$ . Тогда $a_1=a$ .

Сопряженные комплексные числа

Представление комплексного числа в виде $a+bi$ называется каноническим представлением комплексного числа. Число $a$ называется вещественной частью числа $z$

Число $b$ называется мнимой частью числа $z$

Если $Im m zne0$ , то число $z$ называется мнимым числом. Если $Re e z=0$ , то $z$ называется чисто мнимым числом.

Число $bar{z}=a-bi$ называется комплексно сопряженным с $z$ .

Теорема.

1. $z+bar{z},zbar{z}$ — вещественные числа, $zbar{z}$ неотрицательно.
2.

$[begin{array}{l} overline{z_1+z_2}=bar{z_1}+bar{z_2}\ overline{z_1-z_2}=bar{z_1}-bar{z_2}\ overline{z_1cdot z_2}=bar{z_1}cdotbar{z_2}\ overline{z_1:z_2}=bar{z_1}:bar{z_2} end{array}]$

3. Число $z$ вещественно в том и только том случае, если $bar{z}=z$ . Число $z$ чисто мнимое, если $bar{z}=-z$ .

Доказательство.

$[begin{array}{l} z_1=a+bi,z_2=c+di,\ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i,\ overline{z_1+z_2}=(a+c)-(b+d)i,\ bar{z_1}=a-bi,bar{z_2}=c-di,\ bar{z_1}+bar{z_2}=(a+c)-(b+d)i. end{array}]$

Первое утверждение доказано.

2. Второе доказывается аналогично.

$[begin{array}{l} z_1cdot z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i,\ overline{z_1cdot z_2}=(ac-bd)-(ad+bc)i,\ bar{z_1}cdotbar{z_2}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)+(-ad-bc)i. end{array}]$

$[begin{array}{l} displaystyle{z_1over z_2}={a+biover c+di}={ac+bdover c^2+d^2}+{bc-adover c^2+d^2}i,\[3mm] displaystyleoverline{z_1over z_2}={ac+bdover c^2+d^2}-{bc-adover c^2+d^2}i,\[3mm] displaystyle{bar{z}_1over bar{z}_2}={a-biover c-di}={(a-bi)(c+di)over (c-di)(c+di)}=\[3mm] displaystyle={(ac+bd)+(-bc+ad)iover c^2+d^2}={ac+bdover c^2+d^2}-{bc-adover c^2+d^2}i. end{array}]$

Задачи.

1. Вычислите

1) $(1+2i)-(3-i)$ ;

2) $i(1-i)$ ;

3) $(2-i)^2$ ;

4) $i^4$ ;

5) $(1+i)^{20}$ .

2. Найдите вещественные решения уравнения

3. Вычислите

1) $displaystyle frac{5}{1+2i}$ ;

2) $displaystyle frac{2i-3}{1+i}$ ;

3) $(1+i)^{-10}$ .

4. Докажите, что следующие числа вещественны

1) $displaystyle frac{z^2+bar{z}}{z^2-bar{z}}-frac{z+bar{z}^2}{z-bar{z}^2}$ ;

2) $displaystyle frac{z-1}{i(z+1)}</tex>, если <tex>zbar{z}=1$ .

5. Найдите все комплексные корни уравнений:

1) $x^2=-4$ ;

2) $x^2+ix+2=0$ ;

3) $2ix^2+(5i-1)x+4i-2=0$ ;

4) $x^6=1$ ;

5) $x^4+x^2+4x+4=0$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40