21. Комплексные числа

Определение поля

Определение. Полем называется непустое множество, для элементов которого определено два действия, называемых сложением и умножением, которые удовлетворяют следующим аксиомам:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения);

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения);

3. exists 0: forall a a+0=a (существование нуля);

4. forall a exists (-a): a+(-a)=0 (существование противоположного элемента);

5. ab=ba (коммутативность умножения);

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения);

7. exists 1: forall a acdot1=a (существование единицы);

8. forall ane0 exists a^{-1}: acdot a^{-1}=1 (существование обратного элемента);

9. (a+b)c=ac+bc (дистрибутивность);

10. 1ne0 (в поле должно существовать хотя бы два элемента).

Пример. Поля: mathbb{R} — поле вещественных чисел, mathbb{Q} — поле рациональных чисел,

    [mathbb{Q}(sqrt{2})=left{ a+bsqrt{2}/a,bin mathbb{Q}right}.]

Некоторые следствия из аксиом поля

1. Нуль есть только один.

Действительно, пусть есть два нуля 0_1 и 0_2:

    [a+0_1=a,quad a+0_2=a.]

Тогда 0_1+0_2=0_1 и 0_1+0_2=0_2+0_1=0_2.

2. У числа есть только одно противоположное.

Действительно, пусть их два (-a) и b. Тогда

    [(-a)+(a+b)=(-a)+0=-a,quad ((-a)+a)+b=0+b=b+0=b.]

3. ab=0,ane0Longrightarrow b=0.

Действительно, a^{-1}cdot ab=b=0.

4. (-a)(-b)=ab.

Действительно, ((-a)+a)b=0=(-a)b+ab. Аналогично
a((-b)+b)=a(-b)+ab=0. Значит, -(ab)=(-a)b=a(-b). Кроме того, -(-ab)=ab. Тогда

    [((-a)+a)((-b)+b)=(-a)(-b)+(-a)b+ab+a(-b)=0]

и (-a)(-b)=-(a(-b))=ab.

Определение поля комплексных чисел

Определение. Полем комплексных чисел называется множество mathbb{C}, обладающее следующими свойствами:

1. mathbb{C} — поле;

2. mathbb{C}supset mathbb{R} (mathbb{C} содержит mathbb{R}). При этом предполагается, что действия в mathbb{C} в применении к элементам из mathbb{R} приводят к тем же результатам, что и действия в mathbb{R}.

3. Любое квадратное уравнение с вещественными коэффициентами имеет в поле mathbb{C} корень.

4. Каждый элемент поля mathbb{C} является корнем какого-либо квадратного уравнения с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение

    [z^2+1=0.]

Оно не имеет вещественных корней, но, по аксиоме 3, имеет корень в поле mathbb{C}. Один из корней этого уравнения зафиксируем и обозначим i (image) — мнимая единица.

Пусть a,b,c,din mathbb{R}

    [begin{array}{l} (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,\ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,\ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,\ displaystyle {a+biover c+di}={(a+bi)(c-di)over (c+di)(c-di)}={(ac+bd)+(bc-ad)iover c^2+d^2}= {ac+bdover c^2+d^2}+{bc-adover c^2+d^2}i. end{array}]

Теорема. Любой элемент поля mathbb{C} можно единственным образом представить в виде a+bi, где a,bin mathbb{R}.

Доказательство.

    [a,bin mathbb{R}Longrightarrow a,bin mathbb{C},iin mathbb{C}Longrightarrow a+biin mathbb{C}.]

Пусть gamma — произвольный элемент mathbb{C}. По аксиоме 4, gamma — корень квадратного уравнения с коэффициентами из mathbb{R}

    [  pz^2+qz+r=0qquad(p,q,rin mathbb{R},pne0).]

    [begin{array}{l} pgamma^2+qgamma+r=0,\ gamma^2+{qover p}gamma+r=0,\ displaystyle left(gamma+{qover 2p}right)^2+{rover p}-{q^2over 4p^2}=0,\ displaystyle left(gamma+{qover 2p}right)^2={q^2-4rpover 4p^2}. end{array}]

Если gamma — вещественное число, то его можно представить в виде gamma=gamma+0i. Пусть gamma не является вещественным числом. Тогда квадратное уравнение pz^2+qz+r=0 не имеет вещественных корней и имеет отрицательный дискриминант.

    [begin{array}{l} q^2-4pr={cal D}<0\ displaystyle {{cal D}over 4p^2}=left({sqrt{-cal D}over 2p}iright)^2,\ displaystyle left(gamma+{qover 2p}right)^2-left({sqrt{-cal D}over 2p}iright)^2=0,\ displaystyle left(gamma+{q-isqrt{-cal D}over 2p}right)left(gamma+{q-isqrt{-cal D}over 2p}right)=0,\ displaystyle gamma=-{qover 2p}pm{isqrt{-cal D}over 2p}. end{array}]

В любом случае gamma имеет требуемый вид.
Докажем единственность.

Предположим, что gamma=a+bi=a_1+b_1i. Тогда

    [a-a_1=(b_1-b)i.]

Пусть b_1ne b. Тогда

    [{a-a_1over b_1-b}=i.]

Получаем, что iin mathbb{R}. Это невозможно, значит, b_1=b. Тогда a_1=a.

Сопряженные комплексные числа

Представление комплексного числа в виде a+bi называется каноническим представлением комплексного числа. Число a называется вещественной частью числа z

    [a=Re e zqquadmbox{rm real}.]

Число b называется мнимой частью числа z

    [b=Im m zqquadmbox{rm imaginary}.]

Если Im m zne0, то число z называется мнимым числом. Если Re e z=0, то z называется чисто мнимым числом.

Число bar{z}=a-bi называется комплексно сопряженным с z.

Теорема.

1. z+bar{z},zbar{z} — вещественные числа, zbar{z} неотрицательно.
2.

    [begin{array}{l} overline{z_1+z_2}=bar{z_1}+bar{z_2}\ overline{z_1-z_2}=bar{z_1}-bar{z_2}\ overline{z_1cdot z_2}=bar{z_1}cdotbar{z_2}\ overline{z_1:z_2}=bar{z_1}:bar{z_2} end{array}]

3. Число z вещественно в том и только том случае, если bar{z}=z. Число z чисто мнимое, если bar{z}=-z.

Доказательство.

1.

    [begin{array}{l} z_1=a+bi,z_2=c+di,\ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i,\ overline{z_1+z_2}=(a+c)-(b+d)i,\ bar{z_1}=a-bi,bar{z_2}=c-di,\ bar{z_1}+bar{z_2}=(a+c)-(b+d)i. end{array}]

Первое утверждение доказано.

2. Второе доказывается аналогично.

3.

    [begin{array}{l} z_1cdot z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i,\ overline{z_1cdot z_2}=(ac-bd)-(ad+bc)i,\ bar{z_1}cdotbar{z_2}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)+(-ad-bc)i. end{array}]

4.

    [begin{array}{l} displaystyle{z_1over z_2}={a+biover c+di}={ac+bdover c^2+d^2}+{bc-adover c^2+d^2}i,\[3mm] displaystyleoverline{z_1over z_2}={ac+bdover c^2+d^2}-{bc-adover c^2+d^2}i,\[3mm] displaystyle{bar{z}_1over bar{z}_2}={a-biover c-di}={(a-bi)(c+di)over (c-di)(c+di)}=\[3mm] displaystyle={(ac+bd)+(-bc+ad)iover c^2+d^2}={ac+bdover c^2+d^2}-{bc-adover c^2+d^2}i. end{array}]

Задачи.

1. Вычислите

1) (1+2i)-(3-i);

2) i(1-i);

3) (2-i)^2;

4) i^4;

5) (1+i)^{20}.

2. Найдите вещественные решения уравнения

    [(1+i)x+(2+i)y=5+3i.]

3. Вычислите

1) displaystyle frac{5}{1+2i};

2) displaystyle frac{2i-3}{1+i};

3) (1+i)^{-10}.

4. Докажите, что следующие числа вещественны

1) displaystyle frac{z^2+bar{z}}{z^2-bar{z}}-frac{z+bar{z}^2}{z-bar{z}^2};

2) displaystyle frac{z-1}{i(z+1)}</tex>, если <tex>zbar{z}=1.

5. Найдите все комплексные корни уравнений:

1) x^2=-4;

2) x^2+ix+2=0;

3) 2ix^2+(5i-1)x+4i-2=0;

4) x^6=1;

5) x^4+x^2+4x+4=0.

Ссылка на основную публикацию