20. Плотность аддитивной функции промежутка

Определение. Пусть T:Psitomathbb{R}, T аддитивна. Пусть [alpha,beta] — произвольный отрезок, лежащий внутри отрезка [a,b], причем alphanebeta. Средней плотностью функции T на отрезке [a,b] называется величина

    [{T[alpha,beta]over beta-alpha} .]

Лемма 1. Пусть дан отрезок [a,b] и точка c: a<c<b. Пусть

    [m=minleft[{T[a,c]over c-a},{T[c,b]over b-c}right], M=maxleft[{T[a,c]over c-a},{T[c,b]over b-c}right] .]

Тогда

    [mle{T[a,b]over b-a}le M .]

    [begin{array}{ll} displaystyle {T[a,b]over b-a}>{T[a,c]over c-a},&displaystyle{T[a,b]over b-a}>{T[c,b]over b-c},\[4mm] displaystyle {c-aover b-a}T[a,b]>T[a,c],&displaystyle {b-cover b-a}T[a,b]>T[c,b] . end{array}]

Следовательно, складывая левые и правые части двух последних неравенств, получаем

    [begin{array}{l} displaystyle left({c-aover b-a}+{b-cover b-a}right) T[a,b]>T[a,b],\[4mm] T[a,b]>T[a,b]. end{array}]

Получаем противоречие.

Аналогично пусть displaystyle {T[a,b]over b-a}<m.

    [begin{array}{ll} displaystyle  {T[a,b]over b-a}<{T[a,c]over c-a},&displaystyle {T[a,b]over b-a}<{T[c,b]over b-c},\[4mm] displaystyle {c-aover b-a}T[a,b]  .end{array}]

Следовательно, складывая левые и правые части двух последних неравенств, получаем

    [begin{array}{l} displaystyle left({c-aover b-a}+{b-cover b-a}right) T[a,b]<  T[a,b] . end{array}]

Также получаем противоречие.

Определение плотности. Пусть T:Psitomathbb{R}, T аддитивна, c — произвольная точка отрезка [a,b]. Число p(c) называется плотностью функции T в точке c, если для любой последовательности отрезков [alpha_n,beta_n]subset[a,b], cin[alpha_n,beta_n], alpha_nnebeta_n, alpha_n-beta_nto0 выполняется

    [{T[alpha_n,beta_n]over beta_n-alpha_n}to p(c) .]

Теорема 1. Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, T=Delta f, cin[a,b].

1) Пусть T имеет в точке c плотность p(c). Тогда функция f дифференцируема в точке c и f^{prime}(c)=p(c).

2) Пусть функция f дифференцируема в точке c. Тогда функция T имеет в точке c плотность f^{prime}(c).

Доказательство. Пусть

    [m=minleft[{T[a,c]over c-a},{T[c,b]over b-c}right], M=maxleft[{T[a,c]over c-a},{T[c,b]over b-c}right] .]

Тогда

    [mle{T[a,b]over b-a}le M .]

1) По условию forall [alpha_n,beta_n]subset[a,b], cin[alpha_n,beta_n], alpha_nnebeta_n, alpha_n-beta_nto0 выполняется

    [{f(beta_n)-f(alpha_n)over beta_n-alpha_n}to p(c) .]

В частности, это верно для всякой последовательности промежутков [alpha_n,beta_n], в каждом из которых один конец совпадает с точкой c. Таким образом, для любой последовательности (x_n), x_nne c, x_nto c

    [{f(x_n)-f(c)over x_n-c}to p(c) .]

Значит, у функции f есть производная, и она совпадает с f^{prime}(c).

2) По условию, forall (x_n), x_nne c, x_nto c

    [{f(x_n)-f(c)over x_n-c}to f^{prime}(c).]

Нужно доказать, что forall [alpha_n,beta_n]subset[a,b], cin[alpha_n,beta_n], alpha_nnebeta_n, alpha_n-beta_nto0 выполняется

    [{f(beta_n)-f(alpha_n)over beta_n-alpha_n}to p(c) .]

Возьмем произвольную последовательность [alpha_n,beta_n]. Каждый отрезок этой последовательности [alpha_n,beta_n] представим в виде

    [[alpha_n,beta_n]=[alpha_n,c]cup[c,beta_n] .]

Построим две последовательности (m_n) и (M_n) по следующему правилу:

если alpha_n<c<beta_n, то

    [m_n=minleft({f(beta_n)-f(c)over beta_n-c},{f(c)-f(alpha_n)over c-alpha_n}right),]

    [M_n=maxleft({f(beta_n)-f(c)over beta_n-c},{f(c)-f(alpha_n)over c-alpha_n}right) ;]

если c совпадает либо с alpha_n, либо с beta_n, то

    [m_n=M_n={f(beta_n)-f(alpha_n)over beta_n-alpha_n} .]

По теореме о двух милиционерах и по лемме 1

    [left( m_nle{f(beta_n)-f(alpha_n)over beta_n-alpha_n}le M_nright)]

имеем

    [begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} m_n&le&displaystyle {f(beta_n)-f(alpha_n)over beta_n-alpha_n}&le&M_n,\[4mm] downarrow&&downarrow&&downarrow\ f^{prime}(c)&&underline{f^{prime}(c)}&&f^{prime}(c). end{array}]

Теорема 2. Пусть T_1,T_2:Psitomathbb{R}, T_1,T_2 аддитивны. Пусть x — произвольная точка внутри отрезка [a,b], p(x) — плотность T_1,T_2 в точке x. Тогда T_1=T_2.

Аддитивная функция промежутка однозначно восстанавливается по ее плотности.

Доказательство. По теореме 1

    [T_1=Delta f_1, T_2=Delta f_2.]

Плотность функции T_1 в точке x равна плотности функции T_2 в точке x и равна p(x)forall x. Значит, forall xin[a,b]p(x)=f_1^{prime}(x)=f_2^{prime}(x). Следовательно, f_1-f_2=const. Значит, Delta f_1=Delta f_2 и T_1=T_2.

Ссылка на основную публикацию