20. Плотность аддитивной функции промежутка

Определение. Пусть $T:Psitomathbb{R}$ , $T$ аддитивна. Пусть $[alpha,beta]$ — произвольный отрезок, лежащий внутри отрезка $[a,b]$ , причем $alphanebeta$ . Средней плотностью функции $T$ на отрезке $[a,b]$ называется величина

Лемма 1. Пусть дан отрезок $[a,b]$ и точка $c$ : $a<c<b$ . Пусть

Тогда

$[begin{array}{ll} displaystyle {T[a,b]over b-a}>{T[a,c]over c-a},&displaystyle{T[a,b]over b-a}>{T[c,b]over b-c},\[4mm] displaystyle {c-aover b-a}T[a,b]>T[a,c],&displaystyle {b-cover b-a}T[a,b]>T[c,b] . end{array}]$

Следовательно, складывая левые и правые части двух последних неравенств, получаем

$[begin{array}{l} displaystyle left({c-aover b-a}+{b-cover b-a}right) T[a,b]>T[a,b],\[4mm] T[a,b]>T[a,b]. end{array}]$

Получаем противоречие.

Аналогично пусть $displaystyle {T[a,b]over b-a}<m$ .

$[begin{array}{ll} displaystyle {T[a,b]over b-a}<{T[a,c]over c-a},&displaystyle {T[a,b]over b-a}<{T[c,b]over b-c},\[4mm] displaystyle {c-aover b-a}T[a,b] .end{array}]$

Следовательно, складывая левые и правые части двух последних неравенств, получаем

Также получаем противоречие.

Определение плотности. Пусть $T:Psitomathbb{R}$ , $T$ аддитивна, $c$ — произвольная точка отрезка $[a,b]$ . Число $p(c)$ называется плотностью функции $T$ в точке $c$ , если для любой последовательности отрезков $[alpha_n,beta_n]subset[a,b]$ , $cin[alpha_n,beta_n]$ , $alpha_nnebeta_n$ , $alpha_n-beta_nto0$ выполняется

$[{T[alpha_n,beta_n]over beta_n-alpha_n}to p(c) .]$

Теорема 1. Пусть $f:[a,b]tomathbb{R}$ , $T=Delta f$ , $cin[a,b]$ .

1) Пусть $T$ имеет в точке $c$ плотность $p(c)$ . Тогда функция $f$ дифференцируема в точке $c$ и $f^{prime}(c)=p(c)$ .

2) Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $c$ . Тогда функция $T$ имеет в точке $c$ плотность $f^{prime}(c)$ .

Доказательство. Пусть

Тогда

1) По условию $forall [alpha_n,beta_n]subset[a,b]$ , $cin[alpha_n,beta_n]$ , $alpha_nnebeta_n$ , $alpha_n-beta_nto0$ выполняется

$[{f(beta_n)-f(alpha_n)over beta_n-alpha_n}to p(c) .]$

В частности, это верно для всякой последовательности промежутков $[alpha_n,beta_n]$ , в каждом из которых один конец совпадает с точкой $c$ . Таким образом, для любой последовательности $(x_n)$ , $x_nne c$ , $x_nto c$

$[{f(x_n)-f(c)over x_n-c}to p(c) .]$

Значит, у функции $f$ есть производная, и она совпадает с $f^{prime}(c)$ .

2) По условию, $forall (x_n)$ , $x_nne c$ , $x_nto c$

$[{f(x_n)-f(c)over x_n-c}to f^{prime}(c).]$

Нужно доказать, что $forall [alpha_n,beta_n]subset[a,b]$ , $cin[alpha_n,beta_n]$ , $alpha_nnebeta_n$ , $alpha_n-beta_nto0$ выполняется

$[{f(beta_n)-f(alpha_n)over beta_n-alpha_n}to p(c) .]$

Возьмем произвольную последовательность $[alpha_n,beta_n]$ . Каждый отрезок этой последовательности $[alpha_n,beta_n]$ представим в виде

Построим две последовательности $(m_n)$ и $(M_n)$ по следующему правилу:

если $alpha_n<c<beta_n$ , то

$[m_n=minleft({f(beta_n)-f(c)over beta_n-c},{f(c)-f(alpha_n)over c-alpha_n}right),]$

$[M_n=maxleft({f(beta_n)-f(c)over beta_n-c},{f(c)-f(alpha_n)over c-alpha_n}right) ;]$

если $c$ совпадает либо с $alpha_n$ , либо с $beta_n$ , то

$[m_n=M_n={f(beta_n)-f(alpha_n)over beta_n-alpha_n} .]$

По теореме о двух милиционерах и по лемме 1

$[left( m_nle{f(beta_n)-f(alpha_n)over beta_n-alpha_n}le M_nright)]$

имеем

$[begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} m_n&le&displaystyle {f(beta_n)-f(alpha_n)over beta_n-alpha_n}&le&M_n,\[4mm] downarrow&&downarrow&&downarrow\ f^{prime}(c)&&underline{f^{prime}(c)}&&f^{prime}(c). end{array}]$

Теорема 2. Пусть $T_1,T_2:Psitomathbb{R}$ , $T_1,T_2$ аддитивны. Пусть $x$ — произвольная точка внутри отрезка $[a,b]$ , $p(x)$ — плотность $T_1,T_2$ в точке $x$ . Тогда $T_1=T_2$ .

Аддитивная функция промежутка однозначно восстанавливается по ее плотности.

Доказательство. По теореме 1

Плотность функции $T_1$ в точке $x$ равна плотности функции $T_2$ в точке $x$ и равна $p(x)$ $forall x$ . Значит, $forall xin[a,b]$ $p(x)=f_1^{prime}(x)=f_2^{prime}(x)$ . Следовательно, $f_1-f_2=const$ . Значит, $Delta f_1=Delta f_2$ и $T_1=T_2$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40