Определение. Пусть ,
аддитивна. Пусть
— произвольный отрезок, лежащий внутри отрезка
, причем
. Средней плотностью функции
на отрезке
называется величина
Лемма 1. Пусть дан отрезок и точка
:
. Пусть
Тогда
Следовательно, складывая левые и правые части двух последних неравенств, получаем
Получаем противоречие.
Аналогично пусть .
Следовательно, складывая левые и правые части двух последних неравенств, получаем
Также получаем противоречие.
Определение плотности. Пусть ,
аддитивна,
— произвольная точка отрезка
. Число
называется плотностью функции
в точке
, если для любой последовательности отрезков
,
,
,
выполняется
Теорема 1. Пусть ,
,
.
1) Пусть имеет в точке
плотность
. Тогда функция
дифференцируема в точке
и
.
2) Пусть функция дифференцируема в точке
. Тогда функция
имеет в точке
плотность
.
Доказательство. Пусть
Тогда
1) По условию ,
,
,
выполняется
В частности, это верно для всякой последовательности промежутков , в каждом из которых один конец совпадает с точкой
. Таким образом, для любой последовательности
,
,
Значит, у функции есть производная, и она совпадает с
.
2) По условию, ,
,
Нужно доказать, что ,
,
,
выполняется
Возьмем произвольную последовательность . Каждый отрезок этой последовательности
представим в виде
Построим две последовательности и
по следующему правилу:
если , то
если совпадает либо с
, либо с
, то
По теореме о двух милиционерах и по лемме 1
имеем
Теорема 2. Пусть ,
аддитивны. Пусть
— произвольная точка внутри отрезка
,
— плотность
в точке
. Тогда
.
Аддитивная функция промежутка однозначно восстанавливается по ее плотности.
Доказательство. По теореме 1
Плотность функции в точке
равна плотности функции
в точке
и равна
. Значит,
. Следовательно,
. Значит,
и
.