20. Неравенство Бернулли

Пусть число x>-1. Тогда
displaystyle (1+x)^{alpha}ge 1+alpha x при alpha >1,
displaystyle (1+x)^{alpha}le 1+alpha x при 0<alpha <1,
причем равенство достигается только при x=0.

Замечание. Доказательство неравенства Бернулли будет приведено в параграфе, посвященном неравенству Йенсена.

Задачи.

1. Пусть n — натуральное число, nge 2. Доказать, что

    [left({n^2over n^2-1}right)^n<{nover n-1}.]

2. Пусть n — натуральное число, nge 2. Доказать, что

    [n^n>(n+1)^{n-1}.]

3. Пусть n — натуральное число. Доказать, что

    [left(1+{1over n}right)^n<left( 1+{1over n+1}right)^{n+1}.]

4. Пусть n — натуральное число. Доказать, что

    [eleft(1+{1over n}right)^{n+1}>left( 1+{1over n+1}right)^{n+2}.]

5. Пусть n — натуральное число, nge 3. Доказать, что

    [sqrt[n]{n}>sqrt[n+1]{n+1}.]

Ссылка на основную публикацию