20. Биномиальная и полиномиальная формулы

Биномиальная формула (бином Ньютона)

Рассмотрим произведение

    [(a+b)^n=underbrace{(a+b)(a+b)dots(a+b)}_{nmbox{ rm скобок}}=]

здесь n скобок, после раскрытия которых получается сумма одночленов вида a^{n-k}b_kquad(k=overline{0,n}).

Выясним, сколько раз встречается многочлен a^kb^{n-k} при данном k. Он встретится столько раз, сколькими способами можно выбрать k скобок, из которых берется b, т.е. {sf C}_n^k. Таким образом, после приведения подобных членов получим формулу

    [(a+b)^n=sum_{k=0}^n{sf C}_n^ka^{n-k}b^k.]

Пример.

    [(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+5a^2b^3+5ab^4+b^5.]

Полиномиальная теорема

Теорема.

    [(x_1+x_2+ldots+x_k)^n=sum_{stackrel{alpha_1ge0,alpha_2ge0, ldotsalpha_kge0}{alpha_1+alpha_2+ldots+alpha_k=n}}{n!over alpha_1!alpha_2!ldotsalpha_k!}x_1^{alpha_1}x_2^{alpha_2}ldots x_k^{alpha_k}.]

Доказательство.

    [(x_1+x_2+ldots+x_k)^n=]

    [=underbrace{(x_1+x_2+ldots+x_k)(x_1+x_2+ldots+x_k)ldots (x_1+x_2+ldots+x_k)}_{nmbox{ rm скобок}}.]

Чтобы после раскрытия скобок получился одночлен x_1^{alpha_1}x_2^{alpha_2}ldots x_k^{alpha_k}, нужно выбрать те alpha_1 скобок, из которых берется x_1, те alpha_2 скобок, из которых берется x_2 и т.д. и те alpha_k скобок, из которых берется alpha_k. Коэффициент при этом одночлене после приведения подобных членов равен числу способов, которыми можно осуществить такой выбор.

Первый шаг последовательности выборов можно осуществить {sf C}_n^{alpha_1} способами, второй шаг — {sf C}_{n-alpha_1}^{alpha_2}, третий — {sf C}_{n-alpha_1-alpha_2}^{alpha_3} и т.д., k-й шаг — {sf C}_{n-alpha_1-alpha_2-ldots-alpha_{k-1}} способами. Искомый коэффициент равен произведению

    [begin{array}{l} displaystyle {sf C}_n^{alpha_1}cdot{sf C}_{n-alpha_1}^{alpha_2}cdot{sf C}_{n-alpha_1-alpha_2}^{alpha_3}cdotldotscdot{sf C}_{n-alpha_1-alpha_2-ldots-alpha_{k-1}}=\ displaystyle ={n!over alpha_1!(n-alpha_1)!}cdot{(n-alpha_1)!over alpha_2!(n-alpha_1-alpha_2)!}cdot{(n-alpha_1-alpha_2)!over alpha_3!(n-alpha_1-alpha_2-alpha_3)!}cdotldots\[3mm] displaystyle cdot{(n-alpha_1-alpha_2-ldots-alpha_{k-1})!over alpha_k!underbrace{(n-alpha_1-alpha_2-ldots-alpha_k)!}=0!}={n!over alpha_1!alpha_2!ldotsalpha_k!}. end{array}]

Пример. Раскроем скобки в выражении (x+y+z)^5.

Число 5 можно представить в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых следующими способами:

    [5=5+0+0=4+1+0=3+2+0=3+1+1=2+2+1.]

Заполним следующую табличку. В первом столбце приведены всевозможные разбиения числа 5 на сумму трех слагаемых, второй столбец – коэффициент, который получится при одночлене, третий – вид одночлена (монома), и в скобках указано количество мономов данного вида. Для первого разбиения приведены все мономы данного вида.

    [begin{array}{lll} 5=5+0+0&displaystyle{5!over 5!0!0!}=1&x^5(3 -  x^5,y^5,z^5)\[3mm] 5=4+1+0&displaystyle{5!over 4!1!}=5&x^4y(6)\[3mm] 5=3+2+0&displaystyle{5!over 3!2!0!}=10&x^3y^2(6)\[3mm] 5=3+1+1&displaystyle{5!over 3!1!1!}=20&x^3yz(3)\[3mm] 5=2+2+1&displaystyle{5!over 2!2!1!}=30&x^2y^2z(3) end{array}]

    [begin{array}{ll} (x+y+z)^5&=x^5+y^5+z^5+\ &+5(x^4y+x^4z+y^4x+y^4z+z^4x+z^4y)+\ &+10(x^3y^2+x^3z^2+y^3x^2+y^3z^2+z^3x^2+z^3y^2)+\ &+20(x^3yz+y^3xz+z^3xy)+\ &+30(xy^2z^2+yx^2z^2+zx^2y^2) end{array}]

Задачи.

1. Найдите разложение полиномов

1) (2x-y)^4,

2) (x^2+x+1)^2,

3) (1-x+xy)^4.

2. Найдите коэффициент при x^k в разложении полиномов

1) (x+2)^{10}, k=3;

2) displaystyleleft( sqrt{x}-frac{2}{x}right)^8, k=5;

3) (x^2-x+1)^8, k=7;

4) left( sqrt{x}+sqrt[3]{x}+sqrt[4]{x}right)^6, k=2.

3. Докажите тождества

1) displaystyle sum_{k=0}^n{sf C}_n^k=2^n,

2) displaystyle sum_{k=0}^n k{sf C}_n^k=n2^{n-1},

3) displaystyle sum_{k=0}^n k{sf C}_n^k=n2^{n-1},

4) displaystyle sum_{k=0}^n frac{(-1)^k{sf C}_n^k}{k+1}=frac{1}{n+1},

5) displaystyle sum_{k=0}^p {sf C}_m^k{sf C}_n^{p-k}={sf C}_{m+n}^p.

Ссылка на основную публикацию