Биномиальная формула (бином Ньютона)
Рассмотрим произведение
здесь скобок, после раскрытия которых получается сумма одночленов вида
.
Выясним, сколько раз встречается многочлен при данном
. Он встретится столько раз, сколькими способами можно выбрать
скобок, из которых берется
, т.е.
. Таким образом, после приведения подобных членов получим формулу
Пример.
Полиномиальная теорема
Теорема.
Доказательство.
Чтобы после раскрытия скобок получился одночлен , нужно выбрать те
скобок, из которых берется
, те
скобок, из которых берется
и т.д. и те
скобок, из которых берется
. Коэффициент при этом одночлене после приведения подобных членов равен числу способов, которыми можно осуществить такой выбор.
Первый шаг последовательности выборов можно осуществить способами, второй шаг —
, третий —
и т.д.,
-й шаг —
способами. Искомый коэффициент равен произведению
Пример. Раскроем скобки в выражении .
Число можно представить в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых следующими способами:
Заполним следующую табличку. В первом столбце приведены всевозможные разбиения числа на сумму трех слагаемых, второй столбец – коэффициент, который получится при одночлене, третий – вид одночлена (монома), и в скобках указано количество мономов данного вида. Для первого разбиения приведены все мономы данного вида.
Задачи.
1. Найдите разложение полиномов
1) ,
2) ,
3) .
2. Найдите коэффициент при в разложении полиномов
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
3. Докажите тождества
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) .