20. Биномиальная и полиномиальная формулы

Биномиальная формула (бином Ньютона)

Рассмотрим произведение

здесь скобок, после раскрытия которых получается сумма одночленов вида .

Выясним, сколько раз встречается многочлен при данном . Он встретится столько раз, сколькими способами можно выбрать скобок, из которых берется , т.е. . Таким образом, после приведения подобных членов получим формулу

Пример.

Полиномиальная теорема

Теорема.

Доказательство.

Чтобы после раскрытия скобок получился одночлен , нужно выбрать те скобок, из которых берется , те скобок, из которых берется и т.д. и те скобок, из которых берется . Коэффициент при этом одночлене после приведения подобных членов равен числу способов, которыми можно осуществить такой выбор.

Первый шаг последовательности выборов можно осуществить способами, второй шаг — , третий — и т.д., -й шаг — способами. Искомый коэффициент равен произведению

Пример. Раскроем скобки в выражении .

Число можно представить в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых следующими способами:

Заполним следующую табличку. В первом столбце приведены всевозможные разбиения числа на сумму трех слагаемых, второй столбец – коэффициент, который получится при одночлене, третий – вид одночлена (монома), и в скобках указано количество мономов данного вида. Для первого разбиения приведены все мономы данного вида.

Задачи.

1. Найдите разложение полиномов

1) ,

2) ,

3) .

2. Найдите коэффициент при в разложении полиномов

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3. Докажите тождества

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .