2. Метод математической индукции (ММИ)

Рассмотрим на примере, как работает метод.

Задача. Доказать, что для всех натуральных $n$ справедливо равенство

Решение. Обозначим через $s_n$ левую часть равенства, а через $z_n$ — его правую часть.

1) Докажем сначала, что $s_1=z_1$ .

Доказательство.

$[begin{array}{l} displaystyle s_1={1over 1cdot2cdot3}={1over 6}\[3mm] displaystyle z_1={1cdot(1+3)over 4cdot(1+1)cdot(1+2)}={1cdot4over 4cdot2cdot3}={1over 6}. end{array}]$

2) Дано: $s_k=z_k$ . Нужно доказать: $s_{k+1}=z_{k+1}$ .

Доказательство.

$[begin{array}{l} displaystyle z_k={k(k+3)over 4(k+1)(k+2)}; z_{k+1}={(k+1)(k+4)over 4(k+2)(k+3)}\[3mm] displaystyle s_{k+1}=s_k+{1over (k+1)(k+2)(k+3)}=z_k+{1over (k+1)(k+2)(k+3)}=\[3mm] displaystyle ={k(k+3)over 4(k+1)(k+2)}+{1over (k+1)(k+2)(k+3)}={k(k+3)^2+4over 4(k+1)(k+2)(k+3)}=\[3mm] displaystyle ={k^3+9k+6k^2+4over 4(k+1)(k+2)(k+3)}\[3mm] displaystyle z_{k+1}={(k+1)^2(k+4)over 4(k+1)(k+2)(k+3)}={k^3+6k^2+9k+4over 4(k+1)(k+2)(k+3)}\[3mm] s_{k+1}=z_{k+1}. end{array}]$

Тем самым, утверждение доказано для любого $n$ , поскольку из его истинности для $n=1$ следует, что оно истинно для $n=2$ , из его истинности при $n=2$ следует его истинность для $n=3$ и т.д.

Предположим, что нам нужно доказать последовательность утверждений

Для того чтобы доказать все эти утверждения, достаточно доказать две теоремы:

1. $T_1$ — верное утверждение.

2. Если для какого-либо натурального $k$ верно утверждение $T_k$ , то верно и утверждение $T_{k+1}$ .

Такой способ доказательства последовательности утверждений называется методом математической индукции. Первая часть метода называется базой индукции, вторая — индукционным переходом.

Теорема. Если последовательности $(s_n)$ и $(z_n)$ таковы, что $s_1=z_1$ , и для любого натурального $k$

$[s_{k+1}-s_k=z_{k+1}-z_k,]$

то для всех натуральных $n$ выполняется равенство $s_n=z_n$ .

С помощью метода математической индукции можно также доказывать неравенства.

Теорема. Если последовательности $(s_n)$ и $(z_n)$ таковы, что $s_1>z_1$ , и для любого натурального $k$

$[s_{k+1}-s_k>z_{k+1}-z_k,]$

то для всех натуральных $n$ выполняется неравенство $s_n>z_n$ .

Пример. Доказать, что для всех натуральных $nge2$

$[{1over 1^2}+{1over 2^2}+{1over 3^2}+dots+{1over n^2}<2-{1over n}.]$

Доказательство.
1. $s_2<z_2$

Действительно,

$[left.begin{array}{l} displaystyle s_2=1+{1over 4}={5over 4}\[3mm] displaystyle z_2=2-{1over 2}={3over 2} end{array}right|Longrightarrow s_2<z_2]$

$[begin{array}{l} displaystyle s_{k+1}-s_k={1over (k+1)^2},\[3mm] displaystyle z_{k+1}-z_k=2-{1over k+1}-left(2-{1over k}right) ={1over k}-{1over k+1}={1over k(k+1)},\[3mm] s_{k+1}-s_k<z_{k+1}-z_k. end{array}]$

Теорема. Если последовательности $(s_n)$ и $(z_n)$ с положительными членами таковы, что $s_1>z_1$ , и для любого натурального $k$

$[{s_{k+1}over s_k}>{z_{k+1}over z_k},]$

то для всех натуральных $n$ выполняется неравенство $s_n>z_n$ .

Задачи. Доказать

1. $displaystyle 1^2+2^2+dots+n^2={n(n+1)(2n+1)over 6}$ .

2. $1+2+2^2+dots+2^{n-1}=2^n-1$ .

3. $2!cdot4!timesdotstimes(2n)!>[(n+1)!]^n$ при $n>1$ .

4. $displaystyle 1+{1over sqrt{2}}+{1over sqrt{3}}+dots+{1over sqrt{n}}>sqrt{n}$ при $nge2$ .

5. Доказать, что сумма всевозможных произведений квадратов натуральных чисел, взятых по два (от 1 до $n$ ), равна

$[displaystyle {n(n^2-1)(4n^2-1)(5n+6)over 360}.]$

6. Доказать, что для всех натуральных $n$

$[sqrt{displaystyleunderbrace{4+sqrt{4+sqrt{4+dots+sqrt{4}}}}_{n}}<3]$

(четверок — $n$ ).

7. Доказать, что для всех натуральных $n$

$[1^5+2^5+dots+n^5={1over 12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1).]$

8. Доказать, что для всех натуральных $n$

$[{1^2over 1cdot3}+{2^2over 3cdot5}+dots+{n^2over(2n-1)(2n+1)}={n(n+1)over 2(2n+1)}.]$

9. Доказать, что для всех натуральных $n$ $displaystyle2^{n-1}cdot n!le n^n.$

10. Доказать, что сторона правильного вписанного в окружность $2^n$ -угольника выражается формулой

$[a_{2^n}=Rsqrt{2-sqrt{displaystyleunderbrace{2+sqrt{2+dots+sqrt{2}}}_{n-2}}},]$

где $R$ — радиус этой окружности (двоек — $n-2$ ).

11. Доказать, что $n$ прямых, пересекающихся в одной точке и лежащих в одной плоскости, делят эту плоскость на $2n$ частей.

12. Доказать, что $n$ различных прямых, лежащих в одной плоскости, разбивают эту плоскость на области, которые могут быть закрашены красной и синей краской так, что все смежные области (т.е. области, имеющие общий отрезок прямой) будут закрашены разными красками.

13. Доказать, что если $S_1,S_2,S_3,dots,S_n$ — суммы $n$ членов $n$ геометрических прогрессий, у которых первые члены $1$ , а знаменатели соответственно равны $1,2,3,dots,n$ , то

14. Доказать, что сумма всех членов каждой горизонтальной строки таблицы

$[begin{array}{lllllll} 1&&&&&&\ 2&3&4&&&&\ 3&4&5&6&7&&\ 4&5&6&7&8&9&10\ dots&&&&&& end{array}]$

равна квадрату нечетного числа.

15. Доказать, что произведение

состоящее из $n$ сомножителей, равно

$[{(n!)^3(n+1)^2(n+2)over 2^{n+1}}.]$

16. Доказать, что сумма всевозможных парных произведений $n$ натуральных чисел $1,2,ldots,n$ равна

17. Доказать, что для любого натурального $n>1$

$[{4^nover n+1}<{(2n)!over (n!)^2}.]$

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40