Рассмотрим на примере, как работает метод.
Задача. Доказать, что для всех натуральных справедливо равенство
Решение. Обозначим через левую часть равенства, а через
— его правую часть.
1) Докажем сначала, что .
Доказательство.
2) Дано: . Нужно доказать:
.
Доказательство.
Тем самым, утверждение доказано для любого , поскольку из его истинности для
следует, что оно истинно для
, из его истинности при
следует его истинность для
и т.д.
Предположим, что нам нужно доказать последовательность утверждений
Для того чтобы доказать все эти утверждения, достаточно доказать две теоремы:
1. — верное утверждение.
2. Если для какого-либо натурального верно утверждение
, то верно и утверждение
.
Такой способ доказательства последовательности утверждений называется методом математической индукции. Первая часть метода называется базой индукции, вторая — индукционным переходом.
Теорема. Если последовательности и
таковы, что
, и для любого натурального
то для всех натуральных выполняется равенство
.
С помощью метода математической индукции можно также доказывать неравенства.
Теорема. Если последовательности и
таковы, что
, и для любого натурального
то для всех натуральных выполняется неравенство
.
Пример. Доказать, что для всех натуральных
Доказательство.
1.
Действительно,
2.
Теорема. Если последовательности и
с положительными членами таковы, что
, и для любого натурального
то для всех натуральных выполняется неравенство
.
Задачи. Доказать
1. .
2. .
3. при
.
4. при
.
5. Доказать, что сумма всевозможных произведений квадратов натуральных чисел, взятых по два (от 1 до ), равна
6. Доказать, что для всех натуральных
(четверок — ).
7. Доказать, что для всех натуральных
8. Доказать, что для всех натуральных
9. Доказать, что для всех натуральных
10. Доказать, что сторона правильного вписанного в окружность -угольника выражается формулой
где — радиус этой окружности (двоек —
).
11. Доказать, что прямых, пересекающихся в одной точке и лежащих в одной плоскости, делят эту плоскость на
частей.
12. Доказать, что различных прямых, лежащих в одной плоскости, разбивают эту плоскость на области, которые могут быть закрашены красной и синей краской так, что все смежные области (т.е. области, имеющие общий отрезок прямой) будут закрашены разными красками.
13. Доказать, что если — суммы
членов
геометрических прогрессий, у которых первые члены
, а знаменатели соответственно равны
, то
14. Доказать, что сумма всех членов каждой горизонтальной строки таблицы
равна квадрату нечетного числа.
15. Доказать, что произведение
состоящее из сомножителей, равно
16. Доказать, что сумма всевозможных парных произведений натуральных чисел
равна
17. Доказать, что для любого натурального