2. Геометрический смысл дифференциала и производной. Связь дифференцируемости и непрерывности

Определение. Пусть f:Xtomathbb{R}, ain X. Касательной к графику функции f в точке a называется прямая, проходящая через точку (a;f(a)) и имеющая угловой коэффициент, равный f^{prime}(a).

Найдем уравнение касательной:

    [y=f^{prime}(a)x+b.]

Так как касательная проходит через точку (a;f(a)), то

    [begin{array}{l} f(a)=f^{prime}(a)a+b,\ b=f(a)-f^{prime}(a)cdot a,\ y=f^{prime}(a)x+f(a)-f^{prime}(a)a,\ y=f^{prime}(a)(x-a)+f(a),\ y-f(a)=f^{prime}(a)(x-a). end{array}]

    [fbox{$y=f^{prime}(a)(x-a)+f(a)$}]

Связь дифференцируемости и непрерывности

Утверждение. Пусть f:Xtomathbb{R}, ain X, f дифференцируема в точке a. Тогда функция f непрерывна в точке a.

Доказательство.

    [begin{array}{l} f(a+h)-f(a)=f^{prime}(a)h+varphi(h)h,\[3mm] displaystyle lim_{hto0}left[ f^{prime}(a)h+varphi(h)hright]=0,\[4mm] displaystyle lim_{hto0}f(a+h)=f(a). end{array}]

Задачи.

1) Для данных функций y=f(x) напишите уравнения касательных y=l(x) к их графикам в точках с абсциссой x_0=2, запишите разность f(x)-l(x) и проверьте, что

    [lim_{xto x_0}frac{f(x)-l(x)}{x-x_0}=0 .]

1. f(x)=x^2+2x;
2. f(x)=sqrt{2x};
3. f(x)=sinpi x.

2) Напишите уравнения касательных к графику функции f(x)=sqrt{1-x^2} в точках с абсциссами x_0=0 и x_0=sqrt{2}/2. Постройте график функции f и эти касательные.

3) Напишите уравнения касательных к графику функции y=x^3-2x^2, параллельных прямой y=-x+3.

4) Напишите уравнения касательных к графику функции displaystyle y=frac{x}{x-1}, перпендикулярных прямой y=4x+3.

5) Напишите уравнения касательных к графику функции y=x^2+3x+2, проходящих через точку с координатами (2;8).

5) Напишите уравнение прямой, касающейся графика функции y=x^2-2|x-1| в двух точках.

Определение. Углом между двумя кривыми называется угол между касательными к ним в точках их пересечения.

6) Найдите, под какими углами пересекаются графики функций

а) f(x)=x^3-x и g(x)=x^2-10;

б) f(x)=sin x и g(x)=cos x.

Ссылка на основную публикацию