2. Геометрический смысл дифференциала и производной. Связь дифференцируемости и непрерывности

Определение. Пусть , . Касательной к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент, равный .

Найдем уравнение касательной:

Так как касательная проходит через точку , то

Связь дифференцируемости и непрерывности

Утверждение. Пусть , , дифференцируема в точке . Тогда функция непрерывна в точке .

Доказательство.

Задачи.

1) Для данных функций напишите уравнения касательных к их графикам в точках с абсциссой , запишите разность и проверьте, что

1. ;
2. ;
3. .

2) Напишите уравнения касательных к графику функции в точках с абсциссами и . Постройте график функции и эти касательные.

3) Напишите уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .

4) Напишите уравнения касательных к графику функции , перпендикулярных прямой .

5) Напишите уравнения касательных к графику функции , проходящих через точку с координатами .

5) Напишите уравнение прямой, касающейся графика функции в двух точках.

Определение. Углом между двумя кривыми называется угол между касательными к ним в точках их пересечения.

6) Найдите, под какими углами пересекаются графики функций

а) и ;

б) и .