Определение. Пусть ,
. Касательной к графику функции
в точке
называется прямая, проходящая через точку
и имеющая угловой коэффициент, равный
.
Найдем уравнение касательной:
Так как касательная проходит через точку , то
Связь дифференцируемости и непрерывности
Утверждение. Пусть ,
,
дифференцируема в точке
. Тогда функция
непрерывна в точке
.
Доказательство.
Задачи.
1) Для данных функций напишите уравнения касательных
к их графикам в точках с абсциссой
, запишите разность
и проверьте, что
1. ;
2. ;
3. .
2) Напишите уравнения касательных к графику функции в точках с абсциссами
и
. Постройте график функции
и эти касательные.
3) Напишите уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой
.
4) Напишите уравнения касательных к графику функции , перпендикулярных прямой
.
5) Напишите уравнения касательных к графику функции , проходящих через точку с координатами
.
5) Напишите уравнение прямой, касающейся графика функции в двух точках.
Определение. Углом между двумя кривыми называется угол между касательными к ним в точках их пересечения.
6) Найдите, под какими углами пересекаются графики функций
а) и
;
б) и
.