19. Классические неравенства. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим имеет вид

    [{a_1+a_2+cdots +a_nover n}ge sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n} quad (a_1,a_2,ldots ,a_nge 0),]

причем равенство достигается только в том случае, когда все числа равны.

При n=2 имеем

    [a_1a_2=left( {a_1+a_2over 2}right)^2-left( {a_1-a_2over 2}right)^2<left( {a_1+a_2over 2}right)^2 ,]

кроме случая a_1=a_2. Далее

    [begin{array}{l} displaystyle a_1a_2a_3a_4lehskip-0.5mmleft(hskip-0.5mm {a_1+a_2over 2}right)^{2} cdotleft( {a_3+a_4over 2}right)^{2} leleft( {1over 2}left( {a_1+a_2over 2}+{a_3+a_4over 2}right) right)^{4}\[4mm] displaystyle =left( {a_1+a_2+a_3+a_4over 4}right)^4,  end{array}]

причем знак неравенства строгий, если не все числа a_1,a_2,a_3,a_4 равны между собой.

Повторяя это рассуждение m раз, получаем

    [a_1a_2cdotldotscdot a_{2^m}<left( {a_1+a_2+cdots +a_{2^m}over 2^m}right)^{2^m},]

кроме случая, когда все a_i равны.

Таким образом, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим доказано для степеней двойки.

Пусть теперь n — любое натуральное число, а натуральное число m таково, что 2^m>n. Положим

    [b_1=a_1,b_2=a_2,ldots ,b_n=a_n,b_{n+1}=ldots =b_{2^m}={{1over n}sum_{i=1}^n}a_i=u.]

По доказанному

    [begin{array}{l} displaystyle a_1a_2cdotldotscdot a_ncdot u^{2^m-n}=b_1b_2cdotldotscdot b_{2^m}>left({b_1+cdots+b_{2^m}over 2^m}right)^{2^m}=\[6mm] displaystyle =left({nu+(2^m-n)uover 2^m}right)^{2^m}=u^{2^m}, end{array}]

за исключением случая, когда все b_i равны, а, значит, и все a_i равны.

Отсюда получаем

    [a_1a_2cdotldotscdot a_nleleft({a_1+cdots +a_nover n}right)^n]

или

    [sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}le{a_1+cdots +a_nover n},]

причем равенство достигается только в случае a_1=a_2=ldots =a_n.

Приведем одно важное обобщение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, касающееся взвешенных средних.

Пусть q_1,q_2,ldots ,q_n — положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда число
displaystyle {sum_{i=1}^n}q_ia_i называется взвешенным средним арифметическим положительных чисел a_1,a_2,ldots ,a_n, а число displaystyle {prod_{i=1}^n}a_i^{q_i} — их взвешенным средним геометрическим. Неравенство между взвешенными средними арифметическим и геометрическим утверждает, что

    [q_1a_1+q_2a_2+cdots +q_na_nge a_1^{q_1}cdot a_2^{q_2}cdotldotscdot a_n^{q_n},]

причем равенство достигается только в случае a_1=a_2=ldots =a_n.

Замечание. Это неравенство будет доказано почле изучения неравенства Йенсена.

Задачи.

1. Пусть a,b — положительные числа. Доказать, что

    [2sqrt a+3sqrt[3] bge 5cdotsqrt[5]{ab}.]

2. Пусть a,b — вещественные числа, age 0. Доказать, что

    [{a^3+b^6over 2}ge 3ab^2-4.]

3. Сумма положительных чисел a_1,a_2,ldots ,a_n равна S. Доказать, что

    [prod_{i=1}^nleft( 1-{2a_iover S}right)leleft({n-2over n}right)^n.]

4. Пусть a — вещественное число. Доказать, что

    [sum_{i=1}^na^{2i}ge (n+1)a^n-1.]

При каком xquad (0<x<1) выражение x^n(1-x)^k принимает наибольшее значение?

Ссылка на основную публикацию