18. Квадратный трехчлен

Определение. Квадратным трехчленом называется функция, определенная на всей числовой оси равенством вида f(x)=ax^2+bx+c, где a,b,cinmathbb{R},ane0.

Определение. Множество точек плоскости, которое в какой-либо системе координат является графиком функции y=x^2, называется параболой.

При изменении масштаба получим график функции

    [begin{array}{c} displaystyle y={1over k}(kx)^2=kx^2qquad(kne0),\[3mm] y=kx^2. end{array}]

Теорема. График квадратного трехчлена — парабола.

Доказательство. Теорема доказана для трехчленов вида y=ax^2 (нужно изменить масштаб, взяв k=a).

    [begin{array}{l} displaystyle ax^2+bx+c=aleft( x^2+{bover a}x+{cover a}right)=\[3mm] displaystyle =aleft( x^2+2x{bover 2a}+{b^2over 4a^2}right)+c-{b^2over 4a}=\[3mm] displaystyle =aleft( x+{bover 2a}right)^2+c-{b^2over 4a}=aleft( x+ {bover 2a}right)^2-{{cal D}over 4a}, end{array}]

где {cal D}=b^2-4ac. Следовательно, график квадратного трехчлена y=ax^2+bx+c можно получить из параболы y=ax^2 при таком параллельном переносе координатных осей, чтобы начало координат оказалось в точке displaystyle left(-{bover 2a},-{{cal D}over 4a}right) (см. рис. 31).

Рис. 31

Если a>0, то f строго убывает на displaystyle left(-infty;-{bover 2a}right] и f строго возрастает на displaystyle left[-{bover 2a};+inftyright).

Если a<0, то f строго возрастает на displaystyle left(-infty;-{bover 2a}right] и f строго убывает на displaystyle left[-{bover 2a};+inftyright).

Доказательство. Пусть a>0, displaystyle x_1,x_2inleft(-infty;-{bover 2a}right], пусть x_1>x_2:

    [begin{array}{l} displaystyle x_1,x_2+{bover 2a}in(-infty;0],\[2mm] displaystyle x_1+{bover 2a}>x_2+{bover 2a},\[2mm] displaystyle left(x_1+{bover 2a}right)^2<left(x_2+{bover 2a}right)^2,\[2mm] displaystyle aleft(x_1+{bover 2a}right)^2<aleft(x_2+{bover 2a}right)^2,\[2mm] displaystyle aleft(x_1+{bover 2a}right)^2-{{cal D}over 4a}<aleft( x_2+{bover 2a}right)^2-{{cal D}over 4a},\[2mm] ax_1^2+bx_1+c<ax_2^2+bx_2+c. end{array}]

Определение. Число {cal D}, равное b^2-4ac, называется дискриминантом квадратного трехчлена f(x)=ax^2+bx+c.

Если {cal D}>0, то квадратный трехчлен имеет два корня displaystyle {-b-sqrt{cal D}over 2a} и displaystyle {-b+sqrt{cal D}over 2a}.

Если {cal D}=0, то квадратный трехчлен имеет один корень displaystyle{-bover 2a}.

Если {cal D}<0, то квадратный трехчлен не имеет вещественных корней.

Промежутки знакопостоянства

1. {cal D}>0. Пусть x_1,x_2 — корни квадратного
трехчлена, x_1<x_2. Заметим (рис. 32), что

    [begin{array}{l} displaystyle  -{bover 2a}={x_1+x_2over 2}Rightarrow x_1<-{bover 2a}<x_2Rightarrow\[3mm] displaystyle Rightarrow x_1inleft(-infty;-{bover 2a}right),x_2inleft(-{bover 2a};+inftyright). end{array}]

Рис. 32

Пусть a>0. Тогда f строго убывает на displaystyle left(-infty;-{bover 2a}right),f(x_1)=0. Следовательно, f(x)>0 при x<x_1 и f(x)>0 при displaystyle x_1<x<-{bover 2a}.

f строго возрастает на displaystyle left(-{bover 2a};+inftyright),f(x_2)=0. Следовательно, f(x)<0 при displaystyle xinleft(-{bover 2a};x_2right) и f(x)>0 при x>x_2.

Итак, если a>0,{cal D}>0, то f отрицательна на (x_1,x_2) (между корнями), f положительна вне отрезка [x_1;x_2].

Аналогично доказывается, что при {cal D}>0,a<0 квадратный трехчлен положителен между корнями и отрицателен вне корней.

2. {cal D}le0.

    [f(x)=aleft( x+{bover 2a}right)^2-{{cal D}over 4a} .]

Отсюда следует, что при a>0 квадратный трехчлен положителен на всей оси (кроме точки displaystyle -{bover 2a}, если {cal D}=0), а при a<0 квадратный трехчлен отрицателен на всей оси (кроме точки displaystyle -{bover 2a}, если {cal D}=0).

Множество значений квадратного трехчлена

Определение. Множество значений функции f — это множество таких чисел p, для которых уравнение f(x)=p имеет корень.

Пусть f(x)=ax^2+bx+c — квадратный трехчлен.

    [ax^2+bx+c=pLeftrightarrow ax^2+bx+(c-p)=0 .]

Это уравнение имеет корень в том и только в том случае, если

    [begin{array}{l} b^2-4a(c-p)ge0,\ b^2-4ac+4apge0,\ 4apge-{cal D}, end{array}]

где {cal D}дискриминант данного квадратного трехчлена.

Если a>0, то множество значений квадратного трехчлена displaystyle left[-{{cal D}over 4a};+inftyright).

Если a<0, то множество значений квадратного трехчлена displaystyleleft(-infty;-{{cal D}over 4a}right].

Расположение корней квадратного трехчлена

Предположим, что квадратная функция f(x)=ax^2+bx+c имеет два вещественных корня x_1 и x_2, (x_1<x_2). При a>0 эта функция принимает отрицательные значения в промежутке (x_1,x_2) и положительные значения — вне промежутка [x_1,x_2]. При a<0 функция принимает положительные значения в промежутке (x_1,x_2) и отрицательные значения — вне промежутка [x_1,x_2]. Для того чтобы для произвольного числа alpha выяснить, принадлежит ли оно промежутку (x_1,x_2), достаточно знать знак коэффициента a и знак числа f(alpha)=aalpha^2+balpha+c. Тем самым, alphain(x_1,x_2) тогда и только тогда, когда af(alpha)<0.

Задачи.

1) При каких значениях a уравнение

    [(a+1)x^2-(2a-3)x+a=0]

не имеет вещественных корней?

2) При каких значениях a параболы y=x^2-ax-3 и y=2x^2-a имеют две общие точки?

3) Постройте графики функций

1. y=|x^2-2x-3|.

2. y=|x^2-1|+x.

3. y=[2x^2+x-1].

4. y={rm sign}, (3x^2-x-2).

4) Пусть a,b,c — вещественные числа. Докажите, что уравнение

    [(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0]

имеет вещественный корень.

5) Прямая, проходящая через точку C, лежащую на оси ординат, пересекает параболу y=x^2 в точках A и B. Докажите, что произведение абсцисс точек A и B не зависит от углового коэффициента прямой.

6) При каких значениях параметра a уравнение

    [ax^2-(3a-3)x+4a-4=0]

имеет два вещественных корня, один из которых больше 1, а второй меньше 1?

7) Квадратная функция задана формулой f(x)=x^2-2. Докажите, что уравнение f(f(f(x))) имеет восемь вещественных корней.

Ссылка на основную публикацию