18. Интеграл и его применение. Первообразная

Пусть f,F:Xtomathbb{R}, функция F дифференцируема. Функция F называется первообразной функции f, если forall xin XF^{prime}(x)=f(x).

Отыскание первообразной у функции носит название неопределенного интегрирования.

Обозначение. int f(x)dx — неоднозначно.

F(x)=int f(x)dx: F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Свойства первообразной

1. Пусть F — первообразная функции f, cinmathbb{R}. Тогда F+c — первообразная функции f.

Доказательство.

    [(F+c)^{prime}=F^{prime}+c^{prime}=F^{prime}=f .]

Обратное неверно.

2. Пусть f:[a,b]tomathbb{R}, пусть F и G — первообразные функции f. Тогда F-G — постоянная функция.

Доказательство.

    [(F-G)^{prime}=F^{prime}-G^{prime}=f-f=0 .]

F-G — функция с нулевой производной, заданная на промежутке. Значит, F-G — постоянная функция.

3. Если F — первообразная функции f, G — первообразная функции g, то F+G — первообразная функции f+g.

Доказательство.

    [begin{array}{l} (F+G)^{prime}=F^{prime}+G^{prime}=f+g,\[2mm] int(f(x)+g(x))dx=int f(x)dx+int g(x)dx . end{array}]

(последнее равенство справедливо с точностью до постоянной).

4. Пусть F — первообразная функции f, alphainmathbb{R}. Тогда alpha F — первообразная функции alpha f.

Доказательство.

    [begin{array}{l} (alpha F)^{prime}=alpha F^{prime}=alpha f,\[2mm] intalpha f(x)dx=alphaint f(x)dx . end{array}]

5. Пусть F — первообразная функции f, varphi — дифференцируемая функция. Тогда Fcirc varphi — первообразная функции (fcircvarphi)varphi^{prime}.

Доказательство.

    [begin{array}{l} (Fcircvarphi)^{prime}=(f^{prime}circvarphi)varphi^{prime},\[2mm] int f(varphi(x))varphi^{prime}(x)dx=F(varphi(x))+c . end{array}]

— формула замены переменной в неопределенном интеграле.

    [fbox{$int f(varphi(x))varphi'(x)dx=int f(t)dt=F(t)+c=F(varphi(x))+c$}]

6. Пусть функции f и g дифференцируемы, пусть F — первообразная функции fg^{prime}. Тогда fg-F — первообразная функции f^{prime}g.

Доказательство.

    [(fg-F)^{prime}=(fg)^{prime}-F^{prime}=f^{prime}g+fg^{prime}-fg^{prime}=f^{prime}g .]

Формула интегрирования по частям

    [fbox{$int f^{prime}(x)g(x)dx=f(x)g(x)-int f(x)g^{prime}(x)dx$}]

Таблица первообразных

    [begin{tabular}{|c|c|} hline $f(x)=a=const$ & $F(x)=ax$\[3mm] hline $f(x)=x^a (ane-1)$ & $displaystyle F(x)=frac{1}{a+1}x^{a+1}$\[4mm] hline $f(x)=sin x$ & $F(x)=-cos x$\[2mm] hline $f(x)=cos x$ & $F(x)=sin x$\[4mm] hline $displaystyle f(x)=frac{1}{sin^2 x}$ & $F(x)=-{rm ctg}, x$\[4mm] hline $displaystyle f(x)=frac{1}{cos^2 x}$ & $F(x)={rm tg}, x$\[4mm] hline $displaystyle f(x)=frac{1}{x^2+1}$ & $F(x)={rm arctg}, x$\[4mm] hline $displaystyle f(x)=frac{1}{sqrt{1-x^2}}$ & $F(x)={rm arcsin}, x$\[4mm] hline end{tabular}]

Ссылка на основную публикацию