17. Доказательство неравенств

Теорема. Если функции f,g:[x_0,x_1)tomathbb{R} и n раз дифференцируемы там,
причем

    [f^{(k)}(x_0)=g^{(k)}(x_0)qquad(k=0,1,dots,n-1) ,]

а f^{(n)}(x)>g^{(n)}(x)forall x> x_0,xin[x_0,x_1), то имеет место неравенство f(x)> g(x) при x> x_0.

Задачи.

1. Докажите теорему.

2. Докажите неравенства:

1) Если x> 0, то

    [1+frac{x}{2}-frac{x^2}{8}< sqrt{1+x}< 1+frac{x}{2} .]

2) Если x> 0, то displaystyle cos x > 1-frac{x^2}{2}.

3) Если x > 0, то для любого натурального числа n

    [sum_{k=0}^{2n-1}frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}< sin x < sum_{k=0}^{2n}frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} .]

4) Если displaystyle 0 <alpha < beta < frac{pi}{2}, то alphasinbeta < betasinalpha.

5) Если displaystyle 0 <alpha < beta < frac{pi}{2}, то alpha{rm tg}, beta < beta{rm tg}, alpha.

3. Неравенство Бернулли. Докажите неравенства

1) Если alpha > 1, x > -1, xne0, то (1+x)^{alpha} > 1+alpha x.

2) Если 0 < alpha < 1, x > -1, xne0, то (1+x)^{alpha} < 1+alpha x.

3) Если alpha < 0, x > -1, xne0, то (1+x)^{alpha} > 1+alpha x.

4) Если x > 0, то

    [left( 1+frac{1}{x}right)^x < left( 1+frac{1}{x+1}right)^{x+1} .]

Ссылка на основную публикацию