16. Преобразования графиков

Перенос вдоль оси абсцисс

Рис. 19

Рассмотрим две системы координат: старую с началом O и новую с началом O^{prime} с сонаправленными осями и одинаковыми масштабами. Пусть точка O^{prime} имеет в старой системе координат координаты (a;0). Пусть M — произвольная точка плоскости, M_{new}(alpha;beta). Тогда ее координаты в старой системе координат M_{old}(alpha+a;beta) (см. рис. 19).

Пусть некоторое множество точек является в старой системе координат графиком функции y=f(x), а в новой системе — графиком функции y=g(x). Пусть M — точка из этого множества. Тогда

    [M_{new}(x,g(x));M_{old}(x+a;g(x))Rightarrow g(x)=f(x+a) .]

Итак, чтобы из графика функции в получить график функции g(x)=f(x+a), нужно перенести ось ординат вдоль оси абсцисс на |a| единиц в направлении, определяемом знаком числа a. Вместо этого можно перенести график функции f в направлении, противоположном знаку a, на |a| единиц (рис. 20).

Рис. 20

На этом рисунке изображены графики функций y=f(x), y=g(x)=f(x+1) и y=h(x)=f(x-2).

Перенос вдоль оси ординат

Рис. 21

Рассмотрим две   системы координат: старую с началом O и новую с началом O^{prime} с сонаправленными осями и одинаковыми масштабами. Пусть точка O^{prime} имеет в старой системе координат координаты (0;b). Пусть M — произвольная точка плоскости, ее координаты в новой системе координат M_{new}(alpha;beta). Тогда ее координаты в старой системе координат M_{old}(alpha+a;beta) (см. рис. 21).

Пусть некоторое множество точек является графиком функции f(x) в старой системе координат и графиком функции g(x) в новой системе координат. Пусть M — точка из этого множества.

    [M_{new}(x;g(x))Rightarrow M_{old}(x;g(x)+b)Rightarrow g(x)+b=f(x).]

    [fbox{$g(x)=f(x)-b$}]

Чтобы получить график функции g(x)=f(x)-b, нужно перенести ось абсцисс вдоль оси ординат на |b| единиц в направлении знака b, или же перенести Gamma_f вдоль оси ординат в направлении, противоположном знаку b (рис. 22).

Рис. 22

На этом рисунке изображены графики функций y=f(x), y=g(x)=f(x)+1 и y=h(x)=f(x)-3.

Изменение единицы длины

Рис. 23

Пусть дана система координат и точки E(k;0),F(0;k)(kne0). Рассмотрим новую систему координат с теми же осями, тем же началом и новыми единичными отрезками OE и OF. Пусть M — произвольная точка, ее координаты в новой и старой системах координат соответственно M_{new}(alpha;beta), M_{old}(kalpha;kbeta) (рис. 23).

Пусть некоторое множество точек является графиком функции f(x) в старой системе координат, а в новой системе координат — Gamma_{g(x)}. Пусть M — точка этого множества.

    [M_{new}(x;g(x)),M_{old}(kx;kg(x))Rightarrow kg(x)=f(kx).]

    [fbox{$displaystyle g(x)={1over k}f(kx)$}]

Чтобы получить Gamma_{g(x)}g(x)={1over k}f(kx), нужно в k раз увеличить масштаб

Рис. 24

или же координаты каждой точки Gamma_f уменьшить в k раз. То есть Gamma_g получается из Gamma_f гомотетией с центром O и коэффициентом 1/k:

    [ax^2={1over a}(ax)^2 .]

График функции y=ax^2 получается из графика функции y=x^2 гомотетией с коэффициентом 1/a (рис. 24).

Растяжение вдоль оси ординат

Чтобы получить график функции y=af(x)(ane0), нужно ординату каждой точки графика f умножить на a, не меняя абсциссы.

Растяжение вдоль оси абсцисс

Пусть g(x)=f(ax). Тогда

    [displaystyle g(x)=aleft({1over a}f(ax)right) .]

Чтобы получить Gamma_{g(x)}, нужно абсциссу каждой точки Gamma_f разделить на a, не меняя ординаты.

График функции g(x)=|f(x)| (рис. 25)

Рис. 25

График функции g(x)=f(|x|) (рис. 26)

Рис. 26

Изменение направления одной из координатных осей

Вместо изменения направления оси ординат можно было бы отразить график относительно оси абсцисс (рис. 27), а вместо изменения направления оси абсцисс можно отразить график относительно оси ординат (рис. 28).

    [g(x)=-f(x)]

Рис. 27

    [g(x)=f(-x)]

Рис. 28

Задачи.

Постройте графики функций

1) y=|2x+3|.

2) y=|x+1|+2.

3) y=|||x|-1|-1|.

Ссылка на основную публикацию