Перенос вдоль оси абсцисс

Рис. 19
Рассмотрим две системы координат: старую с началом и новую с началом
с сонаправленными осями и одинаковыми масштабами. Пусть точка
имеет в старой системе координат координаты
. Пусть
— произвольная точка плоскости,
. Тогда ее координаты в старой системе координат
(см. рис. 19).
Пусть некоторое множество точек является в старой системе координат графиком функции , а в новой системе — графиком функции
. Пусть
— точка из этого множества. Тогда
Итак, чтобы из графика функции в получить график функции , нужно перенести ось ординат вдоль оси абсцисс на
единиц в направлении, определяемом знаком числа
. Вместо этого можно перенести график функции
в направлении, противоположном знаку
, на
единиц (рис. 20).

Рис. 20
На этом рисунке изображены графики функций ,
и
.
Перенос вдоль оси ординат

Рис. 21
Рассмотрим две системы координат: старую с началом и новую с началом
с сонаправленными осями и одинаковыми масштабами. Пусть точка
имеет в старой системе координат координаты
. Пусть
— произвольная точка плоскости, ее координаты в новой системе координат
. Тогда ее координаты в старой системе координат
(см. рис. 21).
Пусть некоторое множество точек является графиком функции в старой системе координат и графиком функции
в новой системе координат. Пусть
— точка из этого множества.
Чтобы получить график функции , нужно перенести ось абсцисс вдоль оси ординат на
единиц в направлении знака
, или же перенести
вдоль оси ординат в направлении, противоположном знаку
(рис. 22).

Рис. 22
На этом рисунке изображены графики функций ,
и
.
Изменение единицы длины

Рис. 23
Пусть дана система координат и точки . Рассмотрим новую систему координат с теми же осями, тем же началом и новыми единичными отрезками
и
. Пусть
— произвольная точка, ее координаты в новой и старой системах координат соответственно
,
(рис. 23).
Пусть некоторое множество точек является графиком функции в старой системе координат, а в новой системе координат —
. Пусть
— точка этого множества.
Чтобы получить , нужно в
раз увеличить масштаб

Рис. 24
или же координаты каждой точки уменьшить в
раз. То есть
получается из
гомотетией с центром
и коэффициентом
:
График функции получается из графика функции
гомотетией с коэффициентом
(рис. 24).
Растяжение вдоль оси ординат
Чтобы получить график функции , нужно ординату каждой точки графика
умножить на
, не меняя абсциссы.
Растяжение вдоль оси абсцисс
Пусть . Тогда
Чтобы получить , нужно абсциссу каждой точки
разделить на
, не меняя ординаты.
График функции (рис. 25)

Рис. 25
График функции (рис. 26)

Рис. 26
Изменение направления одной из координатных осей
Вместо изменения направления оси ординат можно было бы отразить график относительно оси абсцисс (рис. 27), а вместо изменения направления оси абсцисс можно отразить график относительно оси ординат (рис. 28).

Рис. 27

Рис. 28
Задачи.
Постройте графики функций
1) .
2) .
3) .