16. Преобразования графиков

Перенос вдоль оси абсцисс

Рис. 19

Рассмотрим две системы координат: старую с началом $O$ и новую с началом $O^{prime}$ с сонаправленными осями и одинаковыми масштабами. Пусть точка $O^{prime}$ имеет в старой системе координат координаты $(a;0)$ . Пусть $M$ — произвольная точка плоскости, $M_{new}(alpha;beta)$ . Тогда ее координаты в старой системе координат $M_{old}(alpha+a;beta)$ (см. рис. 19).

Пусть некоторое множество точек является в старой системе координат графиком функции $y=f(x)$ , а в новой системе — графиком функции $y=g(x)$ . Пусть $M$ — точка из этого множества. Тогда

$[M_{new}(x,g(x));M_{old}(x+a;g(x))Rightarrow g(x)=f(x+a) .]$

Итак, чтобы из графика функции в получить график функции $g(x)=f(x+a)$ , нужно перенести ось ординат вдоль оси абсцисс на $|a|$ единиц в направлении, определяемом знаком числа $a$ . Вместо этого можно перенести график функции $f$ в направлении, противоположном знаку $a$ , на $|a|$ единиц (рис. 20).

Рис. 20

На этом рисунке изображены графики функций $y=f(x)$ , $y=g(x)=f(x+1)$ и $y=h(x)=f(x-2)$ .

Перенос вдоль оси ординат

Рис. 21

Рассмотрим две системы координат: старую с началом $O$ и новую с началом $O^{prime}$ с сонаправленными осями и одинаковыми масштабами. Пусть точка $O^{prime}$ имеет в старой системе координат координаты $(0;b)$ . Пусть $M$ — произвольная точка плоскости, ее координаты в новой системе координат $M_{new}(alpha;beta)$ . Тогда ее координаты в старой системе координат $M_{old}(alpha+a;beta)$ (см. рис. 21).

Пусть некоторое множество точек является графиком функции $f(x)$ в старой системе координат и графиком функции $g(x)$ в новой системе координат. Пусть $M$ — точка из этого множества.

$[M_{new}(x;g(x))Rightarrow M_{old}(x;g(x)+b)Rightarrow g(x)+b=f(x).]$

Чтобы получить график функции $g(x)=f(x)-b$ , нужно перенести ось абсцисс вдоль оси ординат на $|b|$ единиц в направлении знака $b$ , или же перенести $Gamma_f$ вдоль оси ординат в направлении, противоположном знаку $b$ (рис. 22).

Рис. 22

На этом рисунке изображены графики функций $y=f(x)$ , $y=g(x)=f(x)+1$ и $y=h(x)=f(x)-3$ .

Изменение единицы длины

Рис. 23

Пусть дана система координат и точки $E(k;0),F(0;k)$ $(kne0)$ . Рассмотрим новую систему координат с теми же осями, тем же началом и новыми единичными отрезками $OE$ и $OF$ . Пусть $M$ — произвольная точка, ее координаты в новой и старой системах координат соответственно $M_{new}(alpha;beta)$ , $M_{old}(kalpha;kbeta)$ (рис. 23).

Пусть некоторое множество точек является графиком функции $f(x)$ в старой системе координат, а в новой системе координат — $Gamma_{g(x)}$ . Пусть $M$ — точка этого множества.

$[M_{new}(x;g(x)),M_{old}(kx;kg(x))Rightarrow kg(x)=f(kx).]$

Чтобы получить $Gamma_{g(x)}$ $g(x)={1over k}f(kx)$ , нужно в $k$ раз увеличить масштаб

Рис. 24

или же координаты каждой точки $Gamma_f$ уменьшить в $k$ раз. То есть $Gamma_g$ получается из $Gamma_f$ гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $1/k$ :

$[ax^2={1over a}(ax)^2 .]$

График функции $y=ax^2$ получается из графика функции $y=x^2$ гомотетией с коэффициентом $1/a$ (рис. 24).

Растяжение вдоль оси ординат

Чтобы получить график функции $y=af(x)$ $(ane0)$ , нужно ординату каждой точки графика $f$ умножить на $a$ , не меняя абсциссы.

Растяжение вдоль оси абсцисс

Пусть $g(x)=f(ax)$ . Тогда

Чтобы получить $Gamma_{g(x)}$ , нужно абсциссу каждой точки $Gamma_f$ разделить на $a$ , не меняя ординаты.

График функции $g(x)=|f(x)|$ (рис. 25)

Рис. 25

График функции $g(x)=f(|x|)$ (рис. 26)

Рис. 26

Изменение направления одной из координатных осей

Вместо изменения направления оси ординат можно было бы отразить график относительно оси абсцисс (рис. 27), а вместо изменения направления оси абсцисс можно отразить график относительно оси ординат (рис. 28).

Рис. 27

Рис. 28

Задачи.

Постройте графики функций

1) $y=|2x+3|$ .

2) $y=|x+1|+2$ .

3) $y=|||x|-1|-1|$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40