16. Метод интервалов

I. Два свойства линейной функции

1) Функция y=ax+b(ane0) меняет свой знак при переходе через корень и только в этом случае.

Рис. 1

2) При больших значениях x (правее корня) знак y совпадает со знаком a.

II. Два свойства квадратного трехчлена

1) Квадратный трехчлен y=ax^2+bx+cane0 при {cal D}ne0 меняет свой знак при переходе через корни и только в этих точках.

2) При больших x (правее правого корня, если {cal D}ge0, любых, если {cal D}<0) знак y совпадает со знаком a (на рисунке epsilon=pm1).

Рис. 2

Пример. Решить неравенство

    [{3x^2-x-2over (x+5)(9-x^2)}<0.]

1) Находим корни всех сомножителей.

а) 3x^2-x-2=0; x_1=1,x_2=-{2over 3};

б) x+5=0; x=-5;

в) 9-x^2=0; x=pm3.

2) Наносим корни на числовую ось

Рис. 3

3) Определяем знак левой части последовательно на образовавшихся промежутках справа налево (см. рис. 3)

4) Ответ. (см. рис. 3) (-5;-3)cupleft(-{2over 3};1right)cup(3;+infty).

Задачи.

Решите неравенства

1) displaystyle{(2x^2+x-10)(6x^2+17x+5)over (8x^2+10x-3)(3x^2+2x-8)}le0.

2) Решите неравенство
displaystyle {(x^2+3x-18)(4x^2-4x+1)over (x^2-5x+6)(3x^2-8x+14)}<0.

Ссылка на основную публикацию