Рассмотрим произвольный многочлен степени
где ,
,
. Пусть
— произвольное число. Разложим многочлен
по степеням
:
Найдем коэффициенты :
— формула Тейлора для многочленов.
Определение. Пусть ,
, функция
раз дифференцируема в точке
.
-м многочленом Тейлора функции
в точке
называется многочлен
Пример. Пусть .
Определение. Разность называется
-м остатком и обозначается
.
Формула называется формулой Тейлора.
Оценим остаточный член в формуле Тейлора. Рассмотрим функцию :
Пусть функция раз дифференцируема. Тогда функция
дифференцируема и
Тогда из равенства (**) получаем
Очевидно, что .
1. Рассмотрим функцию , заданную на исходном промежутке по правилу
.
Применим к функциям и
и к отрезку, концами которого являются точки
и
, теорему Коши. Поскольку функция
дифференцируема, а
, получаем, что существует точка
, лежащая между
и
:
Доказано следующее: если функция раз дифференцируема на промежутке
,
, то
существует точка
между
и
, такая, что
2. Рассмотрим функцию ,
,
, если
. Применим теорему Коши. Существует точка
между точками
и
, такая, что
Доказано следующее: если функция раз дифференцируема на промежутке
,
, то
существует точка
между
и
, такая, что
Формулы (1) и (2) носят название формул Тейлора. Формула (1) — формула Тейлора с остатком в форме Коши, а формула (2) – формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа.
Следствие. Пусть и бесконечно дифференцируема. Пусть существует такое
, что
и
Тогда
В частности, , откуда
.
Пример. .
Задача. Пусть функция раз дифференцируема в точке
,
— ее многочлен Тейлора. Докажите, что
Задача. Пусть функция раз дифференцируема в точке
, а
Докажите, что тогда — многочлен Тейлора функции
.
Задача. Пусть раз дифференцируема в точке
и
Доказать, что существует функция :
и
Задача. Пусть раз дифференцируема в точке
, а
— ее
-й многочлен Тейлора. Тогда существует функция
:
:
— формула Тейлора с остатком в форме Пеано.
Задача. Пусть функция раз дифференцируема в точке
, а полином
такой, что, где
Докажите, что .