16. Формула Тейлора

Рассмотрим произвольный многочлен степени n

    [P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+ldots+a_n,]

где a_iinmathbb{R}, i=0,1,2,ldots,n, a_0ne0. Пусть ainmathbb{R} — произвольное число. Разложим многочлен P(x) по степеням (x-a):

    [P(x)=b_0(x-a)^n+b_1(x-a)^{n-1}+ldots+b_n.]

Найдем коэффициенты b_0,b_1,ldots,b_n:

    [begin{array}{l} b_n=P(a),\ P^{prime}(x)=b_{n-1}+2b_{n-2}(x-a)+ldots+nb_0(x-a)^{n-1},\ b_{n-1}=P^{prime}(a),\ P^{primeprime}(x)=2b_{n-2}+6b_{n-3}(x-a)+ldots+n(n-1)b_0(x-a)^{n-2},\ b_{n-2}=P^{primeprime}(a)/2,\ P^{(k)}(x)=k!b_{n-k}+ldots,\ P^{(k)}(a)=k!b_{n-k},\[3mm] displaystyle b_{n-k}={P^{(k)}(a)over k!}. end{array}]

    [P(x)=P(a)+P^{prime}(a)(x-a)+{P^{primeprime}(a)over 2}(x-a)^2+ldots+{P^{(n)}(a)over n!}(x-a)^n=sum_{k=0}^n{P^{(k)}(a)over k!}(x-a)^k]

формула Тейлора для многочленов.

Определение. Пусть f:Xtomathbb{R}, ain X, функция fn раз дифференцируема в точке a. n-м многочленом Тейлора функции f в точке a называется многочлен

    [T_n(a;x)=sum_{k=0}^n{f^{(k)}(a)over k!}(x-a)^k.]

Пример. Пусть f(x)=sin x, a=0.

    [T_3(0;x)=f(0)+f^{prime}(0)x+{f^{primeprime}(0)over 2}x^2+{f^{primeprimeprime}(0)over3!}x^3=x-{x^3over 6} ,]

    [f(0)=0, f^{prime}(0)=1, f^{primeprime}(0)=0, f^{primeprimeprime}(0)=-1.]

Определение. Разность f(x)-T_n(a;x) называется n-м остатком и обозначается r_n(x).

Формула f(x)=T_n(a;x)+r_n(x) называется формулой Тейлора.

Оценим остаточный член в формуле Тейлора. Рассмотрим функцию F:

    [begin{array}{l} F(t)=f(x)-T_n(t;x),\ displaystyle T_n(t;x)=sum_{k=0}^n{f^{(k)}(x)over k!}(x-t)^k . end{array}]

Пусть функция fn+1 раз дифференцируема. Тогда функция F дифференцируема и

    [F^{prime}(t)=-T_n^{prime}(t;x) .eqno(**)]

    [begin{array}{l} displaystyle left({f^{(k)}(t)over k!}(x-t)^kright)^{prime}={1over k!}left( f^{(k+1)}(t)(x-t)^k-kf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}right)=\[4mm] displaystyle ={f^{(k+1)}(t)over k!}(x-t)^k-{f^{(k)}(t)over (k-1)!}(x-t)^{k-1}. end{array}]

Тогда из равенства (**) получаем

    [begin{array}{l} displaystyle F^{prime}(t)=-left(f^{prime}(t)+{f^{primeprime}(t)over 1!}(x-t)-{f(t)over 0!}(x-t)^0+right.\[4mm] displaystyle left.+{f^{primeprimeprime}(t)over 2!}(x-t)^2-{f^{primeprime}(t)over 1!}(x-t)^1+dotsright)=-{f^{(n+1)}(t)over n!}(x-t)^n. end{array}]

Очевидно, что F(x)=0.

1. Рассмотрим функцию varphi, заданную на исходном промежутке по правилу varphi(t)=x-t.

Применим к функциям F и varphi и к отрезку, концами которого являются точки t и x, теорему Коши. Поскольку функция F дифференцируема, а varphi^{prime}(t)=-1, получаем, что существует точка c, лежащая между t и x:

    [begin{array}{l} displaystyle {F(x)-F(t)over varphi(x)-varphi(t)}={F^{prime}(c)over varphi^{prime}(c)},\[4mm] F(x)=f(x)-T_n(x,x)=0, F(t)=f(x)-T_n(t;x)=r_n(x),\[2mm] displaystyle {-r_n(x)over 0-(x-t)}={-{f^{(n+1)}(c)over n!}(x-c)^nover -1},\[4mm] displaystyle r_n(x)={f^{(n+1)}(c)over n!}(x-c)^n(x-t). end{array}]

Доказано следующее: если функция fn+1 раз дифференцируема на промежутке X, tin X, то forall xin X существует точка c между t и x, такая, что

    [r_n(x)={f^{(n+1)}(c)over n!}(x-c)^n(x-t) .]

    [f(x)=T_n(t;x)+{f^{(n+1)}(c)over n!}(x-c)^n(x-t) .eqno(1)]

2. Рассмотрим функцию varphi(t)=(x-t)^{n+1}, varphi^{prime}(t)=-(n+1)(x-t)^n, varphi^{prime}(t)ne0, если tne x. Применим теорему Коши. Существует точка c между точками t и x, такая, что

    [begin{array}{l} displaystyle {F(x)-F(t)over varphi(x)-varphi(t)}={F^{prime}(c)over varphi^{prime}(c)},\[4mm] displaystyle {-r_n(x)over 0-(x-t)^{n+1}}={-{f^{(n+1)}(c)over n!}(x-c)^nover -1cdot(n+1)(x-c)^n},\[4mm] displaystyle r_n(x)={f^{(n+1)}(c)over (n+1)!}(x-t)^{n+1}. end{array}]

Доказано следующее: если функция fn+1 раз дифференцируема на промежутке X, tin X, то forall xin X существует точка c между t и x, такая, что

    [r_n(x)={f^{(n+1)}(c)over (n+1)!}(x-t)^{n+1} . eqno(2)]

    [f(x)=T_n(t;x)+r_n(x)={f^{(n+1)}(c)over (n+1)!}(x-t)^{n+1}]

Формулы (1) и (2) носят название формул Тейлора. Формула (1) — формула Тейлора с остатком в форме Коши, а формула (2) – формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа.

Следствие. Пусть f:Xtomathbb{R} и бесконечно дифференцируема. Пусть существует такое M, что forall xin X и forall ninmathbb{N}

    [left| f^{(n)}(x)right|le M.]

Тогда

    [left| r_n(x)right|le{Mover (n+1)!}|x-t|^{n+1} .]

В частности, displaystylelim_{ntoinfty}r_n(x)=0, откуда displaystyle f(x)=lim_{ntoinfty}T_n(t,x).

Пример. f(x)=sin x, t=0, n=3.

    [begin{array}{l} displaystyle T_3(0;x)=x-{x^3over 6},\[4mm] displaystyle r_3le{1over 4!}|x|^4; sin1={5over 6}; r_3(1)le{1over 24} . end{array}]

Задача. Пусть функция fn раз дифференцируема в точке t, T_n — ее многочлен Тейлора. Докажите, что

    [f(t)=T_n(t), f^{prime}(t)=T_n^{prime}(t),dots, f^{(n)}(t)=T_n^{(n)}(t) .]

Задача. Пусть функция fn раз дифференцируема в точке t, а

    [begin{array}{l} P(x)=c_0(x-t)^n+c_1(x-t)^{n-1}+dots+c_n,\ f(t)=P(t), f^{prime}(t)=p^{prime}(t),dots, f^{(n)}(t)=P^{(n)}(t) . end{array}]

Докажите, что тогда P — многочлен Тейлора функции f.

Задача. Пусть fn раз дифференцируема в точке t и

    [f(t)=f^{prime}(t)=f^{primeprime}(t)=dots=f^{(n)}(t)=0 .]

Доказать, что существует функция alpha: displaystyle lim_{xto t}alpha(x)=0 и

    [f(t)=alpha(x)(x-t)^n .]

Задача. Пусть fn раз дифференцируема в точке t, а T_n — ее n-й многочлен Тейлора. Тогда существует функция alpha: displaystyle lim_{xto t}alpha(x)=0:

    [f(x)=T_n(t)+alpha(x)(x-t)^n]

формула Тейлора с остатком в форме Пеано.

Задача. Пусть функция fn раз дифференцируема в точке t, а полином

    [P(x)=c_0(x-t)^n+c_1(x-t)^{n-1}+dots+c_n]

такой, что
f(x)=P(x)+alpha(x)(x-t)^n, где displaystyle lim_{xto t}alpha(x)=0 .
Докажите, что P(x)=T_n(t;x).

Ссылка на основную публикацию