16. Формула Тейлора

Рассмотрим произвольный многочлен степени $n$

$[P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+ldots+a_n,]$

где $a_iinmathbb{R}$ , $i=0,1,2,ldots,n$ , $a_0ne0$ . Пусть $ainmathbb{R}$ — произвольное число. Разложим многочлен $P(x)$ по степеням $(x-a)$ :

$[P(x)=b_0(x-a)^n+b_1(x-a)^{n-1}+ldots+b_n.]$

Найдем коэффициенты $b_0,b_1,ldots,b_n$ :

$[begin{array}{l} b_n=P(a),\ P^{prime}(x)=b_{n-1}+2b_{n-2}(x-a)+ldots+nb_0(x-a)^{n-1},\ b_{n-1}=P^{prime}(a),\ P^{primeprime}(x)=2b_{n-2}+6b_{n-3}(x-a)+ldots+n(n-1)b_0(x-a)^{n-2},\ b_{n-2}=P^{primeprime}(a)/2,\ P^{(k)}(x)=k!b_{n-k}+ldots,\ P^{(k)}(a)=k!b_{n-k},\[3mm] displaystyle b_{n-k}={P^{(k)}(a)over k!}. end{array}]$

$[P(x)=P(a)+P^{prime}(a)(x-a)+{P^{primeprime}(a)over 2}(x-a)^2+ldots+{P^{(n)}(a)over n!}(x-a)^n=sum_{k=0}^n{P^{(k)}(a)over k!}(x-a)^k]$

— формула Тейлора для многочленов.

Определение. Пусть $f:Xtomathbb{R}$ , $ain X$ , функция $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $a$ . $n$ -м многочленом Тейлора функции $f$ в точке $a$ называется многочлен

$[T_n(a;x)=sum_{k=0}^n{f^{(k)}(a)over k!}(x-a)^k.]$

Пример. Пусть $f(x)=sin x, a=0$ .

$[T_3(0;x)=f(0)+f^{prime}(0)x+{f^{primeprime}(0)over 2}x^2+{f^{primeprimeprime}(0)over3!}x^3=x-{x^3over 6} ,]$

$[f(0)=0, f^{prime}(0)=1, f^{primeprime}(0)=0, f^{primeprimeprime}(0)=-1.]$

Определение. Разность $f(x)-T_n(a;x)$ называется $n$ -м остатком и обозначается $r_n(x)$ .

Формула $f(x)=T_n(a;x)+r_n(x)$ называется формулой Тейлора.

Оценим остаточный член в формуле Тейлора. Рассмотрим функцию $F$ :

$[begin{array}{l} F(t)=f(x)-T_n(t;x),\ displaystyle T_n(t;x)=sum_{k=0}^n{f^{(k)}(x)over k!}(x-t)^k . end{array}]$

Пусть функция $f$ $n+1$ раз дифференцируема. Тогда функция $F$ дифференцируема и

$[F^{prime}(t)=-T_n^{prime}(t;x) .eqno(**)]$

$[begin{array}{l} displaystyle left({f^{(k)}(t)over k!}(x-t)^kright)^{prime}={1over k!}left( f^{(k+1)}(t)(x-t)^k-kf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}right)=\[4mm] displaystyle ={f^{(k+1)}(t)over k!}(x-t)^k-{f^{(k)}(t)over (k-1)!}(x-t)^{k-1}. end{array}]$

Тогда из равенства (**) получаем

$[begin{array}{l} displaystyle F^{prime}(t)=-left(f^{prime}(t)+{f^{primeprime}(t)over 1!}(x-t)-{f(t)over 0!}(x-t)^0+right.\[4mm] displaystyle left.+{f^{primeprimeprime}(t)over 2!}(x-t)^2-{f^{primeprime}(t)over 1!}(x-t)^1+dotsright)=-{f^{(n+1)}(t)over n!}(x-t)^n. end{array}]$

Очевидно, что $F(x)=0$ .

1. Рассмотрим функцию $varphi$ , заданную на исходном промежутке по правилу $varphi(t)=x-t$ .

Применим к функциям $F$ и $varphi$ и к отрезку, концами которого являются точки $t$ и $x$ , теорему Коши. Поскольку функция $F$ дифференцируема, а $varphi^{prime}(t)=-1$ , получаем, что существует точка $c$ , лежащая между $t$ и $x$ :

$[begin{array}{l} displaystyle {F(x)-F(t)over varphi(x)-varphi(t)}={F^{prime}(c)over varphi^{prime}(c)},\[4mm] F(x)=f(x)-T_n(x,x)=0, F(t)=f(x)-T_n(t;x)=r_n(x),\[2mm] displaystyle {-r_n(x)over 0-(x-t)}={-{f^{(n+1)}(c)over n!}(x-c)^nover -1},\[4mm] displaystyle r_n(x)={f^{(n+1)}(c)over n!}(x-c)^n(x-t). end{array}]$

Доказано следующее: если функция $f$ $n+1$ раз дифференцируема на промежутке $X$ , $tin X$ , то $forall xin X$ существует точка $c$ между $t$ и $x$ , такая, что

$[r_n(x)={f^{(n+1)}(c)over n!}(x-c)^n(x-t) .]$

$[f(x)=T_n(t;x)+{f^{(n+1)}(c)over n!}(x-c)^n(x-t) .eqno(1)]$

2. Рассмотрим функцию $varphi(t)=(x-t)^{n+1}$ , $varphi^{prime}(t)=-(n+1)(x-t)^n$ , $varphi^{prime}(t)ne0$ , если $tne x$ . Применим теорему Коши. Существует точка $c$ между точками $t$ и $x$ , такая, что

$[begin{array}{l} displaystyle {F(x)-F(t)over varphi(x)-varphi(t)}={F^{prime}(c)over varphi^{prime}(c)},\[4mm] displaystyle {-r_n(x)over 0-(x-t)^{n+1}}={-{f^{(n+1)}(c)over n!}(x-c)^nover -1cdot(n+1)(x-c)^n},\[4mm] displaystyle r_n(x)={f^{(n+1)}(c)over (n+1)!}(x-t)^{n+1}. end{array}]$

$[r_n(x)={f^{(n+1)}(c)over (n+1)!}(x-t)^{n+1} . eqno(2)]$

$[f(x)=T_n(t;x)+r_n(x)={f^{(n+1)}(c)over (n+1)!}(x-t)^{n+1}]$

Формулы (1) и (2) носят название формул Тейлора. Формула (1) — формула Тейлора с остатком в форме Коши, а формула (2) – формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа.

Следствие. Пусть $f:Xtomathbb{R}$ и бесконечно дифференцируема. Пусть существует такое $M$ , что $forall xin X$ и $forall ninmathbb{N}$

$[left| f^{(n)}(x)right|le M.]$

Тогда

$[left| r_n(x)right|le{Mover (n+1)!}|x-t|^{n+1} .]$

В частности, $displaystylelim_{ntoinfty}r_n(x)=0$ , откуда $displaystyle f(x)=lim_{ntoinfty}T_n(t,x)$ .

Пример. $f(x)=sin x, t=0, n=3$ .

$[begin{array}{l} displaystyle T_3(0;x)=x-{x^3over 6},\[4mm] displaystyle r_3le{1over 4!}|x|^4; sin1={5over 6}; r_3(1)le{1over 24} . end{array}]$

Задача. Пусть функция $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $t$ , $T_n$ — ее многочлен Тейлора. Докажите, что

$[f(t)=T_n(t), f^{prime}(t)=T_n^{prime}(t),dots, f^{(n)}(t)=T_n^{(n)}(t) .]$

Задача. Пусть функция $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $t$ , а

$[begin{array}{l} P(x)=c_0(x-t)^n+c_1(x-t)^{n-1}+dots+c_n,\ f(t)=P(t), f^{prime}(t)=p^{prime}(t),dots, f^{(n)}(t)=P^{(n)}(t) . end{array}]$

Докажите, что тогда $P$ — многочлен Тейлора функции $f$ .

Задача. Пусть $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $t$ и

$[f(t)=f^{prime}(t)=f^{primeprime}(t)=dots=f^{(n)}(t)=0 .]$

Доказать, что существует функция $alpha$ : $displaystyle lim_{xto t}alpha(x)=0$ и

Задача. Пусть $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $t$ , а $T_n$ — ее $n$ -й многочлен Тейлора. Тогда существует функция $alpha$ : $displaystyle lim_{xto t}alpha(x)=0$ :

— формула Тейлора с остатком в форме Пеано.

Задача. Пусть функция $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $t$ , а полином

$[P(x)=c_0(x-t)^n+c_1(x-t)^{n-1}+dots+c_n]$

такой, что
$f(x)=P(x)+alpha(x)(x-t)^n$ , где $displaystyle lim_{xto t}alpha(x)=0 .$
Докажите, что $P(x)=T_n(t;x)$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40