15. Уравнения. Квадратные уравнения

Определение. Уравнение с одним неизвестным — это высказывание с одной переменной, имеющее вид f(x)=g(x), где f и g — функции. Те значения x, при которых определены обе эти функции, образуют область определения уравнения.

Примеры.

1) x^2=2x, x — вещественное число;

2) sqrt{x}=sin x, xin[0,+infty);

3) {1over 2x+1}={rm arccos}, x, xinleft[-1;-{1over 2}right[cupleft]-{1over 2};1right].

Определение. Значение x, при котором уравнение обращается в верное равенство, называется корнем, или решением уравнения.

Определение. Пусть даны два уравнения (1) и (2). Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если множество корней уравнения (1) содержится в множестве корней уравнения (2).

Обозначение. (1)Rightarrow (2).

Пример.

1)

    [x=3,eqno(1)]

    [x+sin x=3+sin x,,eqno(2)]

(1)Rightarrow(2)

2)

    [x^2=0,eqno(1)]

    [1+cos^2x=2, ,eqno(2)]

(1)Rightarrow(2)

3)

    [x^2=-5,eqno(1)]

    [sin x={1over 2},  ,eqno(2)]

(1)Rightarrow(2)

Теорема. Пусть f,g,h — функции. Рассмотрим уравнения

    [f(x)=g(x),eqno(1)]

    [f(x)+h(x)=g(x)+h(x),eqno(2)]

    [f(x)-h(x)=g(x)-h(x),eqno(3)]

    [f(x)h(x)=g(x)h(x), eqno(4)]

    [{f(x)over h(x)}={g(x)over h(x)} eqno(5)]

Если область определения функции h содержит область определения уравнения (1), то уравнения (2), (3), (4) являются следствиями уравнения (1). Если, кроме того, функция h не обращается в нуль ни в одной точке области определения уравнения (1), то уравнение (5) является следствием уравнения (1).

Доказательство. 1) (1)Rightarrow(2).

Пусть a — корень уравнения (1). Тогда f(a) и g(a) — это одно и то же число. Тогда f(a)+h(a) и g(a)+h(a) — одно и то же число. Следовательно, a — корень уравнения (2). Аналогично доказываются остальные утверждения.

Пример.

    [x^2=x+2,eqno(1)]

    [x^2+sin x=x+2+sin x,eqno(2)]

    [3x^2=3(x+2),  eqno(3)]

    [{x^2over x^4+2}={x+2over x^4+2},eqno(4)]

    [x^2(x+1)=(x+2)(x+1),eqno(5)]

    [x={x+2over x},eqno(6)]

    [x^2-{rm tg}, x=x+2-{rm tg},, xeqno(7)]

    [x^2-arcsin x=x+2-arcsin x,eqno(8)]

Докажем, что (1)Rightarrow(6).

Разобьем область определения уравнения (1) на два множества {0} и Rsetminus{0}. На первом множестве уравнение корней не имеет (убеждаемся в этом проверкой). Поэтому достаточно рассмотреть уравнение (1) на множестве Rsetminus{0}. Теперь на этом множестве xne0. Значит, (1)Rightarrow(6).

(1)Rightarrow(7), так как числа вида displaystyle{piover 2}+pi k,quad kin Z не являются корнями уравнения (1).

(1)notRightarrow(8), так как число 2 является корнем уравнения (1), но не входит в область определения уравнения (8).

Пусть, решая уравнение (1), получили

    [(1)Rightarrow(2)Rightarrow(3)RightarrowdotsRightarrow(n).]

Предположим, что известны все корни уравнения (n). Чтобы решить уравнение (1), достаточно подставить в него поочередно все корни уравнения (n).

Определение. Два уравнения называются равносильными, если каждое из них является следствием другого, т.е. множества их корней совпадают.

Применяя теорему,  можно показать, что уравнение (1) является следствием каждого из уравнений (2), (3), (5) и, следовательно, равносильно им. Уравнения (1) и (4) равносильны, если потребовать, чтобы функция h не обращалась в нуль на области определения уравнения (1).

Решая уравнение, можно прибавлять к обеим частям одну и ту же функцию (вычитать, умножать, делить) при условии, что область определения этой функции содержит область определения уравнения, а в случае умножения и деления не обращается в нуль в точках этой области. В этих случаях мы будем получать уравнение, равносильное данному, если из его корней выбирать только те, которые входят в область определения исходного уравнения.

Теорема. Пусть f,g,h — функции, причем область определения функции h содержит множества значения функций f и g. Рассмотрим уравнения

    [f(x)=g(x),eqno(1)]

    [h(f(x))=h(g(x)),eqno(6)]

Тогда (1)Rightarrow(6).

Если функция h при этом обратима, то уравнения (1) и (6) равносильны.

Квадратные уравнения

Определение. Квадратным называется уравнение вида

    [ax^2+bx+c=0,]

где a,b,c — вещественные числа, ane0.

Решим квадратное уравнение. Разделим обе части на a

    [begin{array}{l} x^2+{bover a}x+c=0,\ displaystyle left( x+{bover 2a}right)^2-{b^2over 4a^2}+{cover a}=0,\ displaystyle left( x+{bover 2a}right)^2={b^2-4acover 4a^2}. end{array}]

Число {cal D}=b^2-4ac называется дискриминантом данного уравнения.

Если {cal D}<0, то уравнение вещественных корней не имеет. Если {cal D}=0, то уравнение имеет единственный корень x=-{bover 2a}. Если {cal D}>0, то уравнение можно представить в виде

    [left( x+{bover 2a}right)^2=left({sqrt{cal D}over 2a}right)^2,]

    [x+{bover 2}a={sqrt{cal D}over 2a}]

или

    [x+{bover 2}a=-{sqrt{cal D}over 2a},]

    [displaystyle x={-b+sqrt{cal D}over 2a}]

или

    [x={-b-sqrt{cal D}over 2a}.]

Уравнение имеет два корня

    [x={-bpmsqrt{cal D}over 2a}.]

Если b=2b', то формулу для корней можно переписать в таком виде

    [x={-2b'pmsqrt{4b'^2-4ac}over 2a}={-b'pmsqrt{b'^2-ac}over a}.]

1 — корень в том и только в том случае, если a+b+c=0.

-1 — корень в том и только в том случае, если a+c=b.

Теорема Виета

Замечательный математик французского Ренессанса Франсуа Виет (1540–1603) ввел коренные улучшения в алгебраическую символику. Среди многих своих открытий он особенно ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Виет много занимался алгебраическими уравнениями, соответствующими делению угла на три, пять и семь равных частей. Он нашел разложение cos nx и sin nx по степеням cos x и sin x. Это позволило ему сразу же решить в октябре 1594 г. уравнение 45-й степени с числовыми коэффициентами, предложенное как вызов всем математикам мира голландским ученым Андриеном ван Роуменом (1561–1615). Виет разработал оригинальное исчисление прямоугольных треугольников и впервые рассмотрел бесконечные произведения.

Теорема. Если x_1 и x_2 — корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0 и других корней у этого уравнения нет, то

    [x_1+x_2=-{bover a}, x_1x_2={cover a}.]

Доказательство. Можно считать, что

    [x_1={-b-sqrt{cal D}over 2a}, x_2={-b+sqrt{cal D}over 2a},]

    [x_1+x_2={-b-sqrt{cal D}-b+sqrt{cal D}over 2a}=-{bover a},]

    [x_1x_2={(-b)^2-(sqrt{cal D})^2over 4a^2}={b^2-b^2+4acover 4a^2}={cover a}.]

Обратная теорема Виета

Теорема. Пусть дано квадратное уравнение

    [ax^2+bx+c=0]

Если числа x_1 и x_2 таковы, что

    [x_1+x_2=-{bover a},x_1x_2={cover a},]

то x_1 и x_2 — корни уравнения ax^2+bx+c=0, и других корней это уравнение не имеет.

    [begin{array}{l} displaystyle ax^2+bx+c=aleft( x^2+{bover a}x+{cover a}right)=\ =a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)=a(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2)=\ =a(x(x-x_1)-x_2(x-x_1))=a(x-x_1)(x-x_2). end{array}]

Таким образом,

    [ax^2+bx+c=0Leftrightarrow a(x-x_1)(x-x_2)=0,]

x_1 и x_2 — корни этого уравнения, и других корней это уравнение не имеет.

Следствие. Попутно доказано, что если x_1 и x_2 — корни уравнения ax^2+bx+c=0 и других корней у него нет, то левая часть представляется в виде

    [a(x-x_1)(x-x_2).]

Задачи.
1. При каких значениях параметра a уравнение

    [(a-1)x^2-2ax+2a^2=0]

имеет два корня, один из которых меньше 1, а другой больше 1?

2. Какие из уравнений

    [x-1=(1-x)(x+2),]

    [{1over x+2}=-1,]

    [left({x-1over x+2}right)^2=(x-1)^2,]

    [{x-1over x+2}+sqrt{-x}=1-x+sqrt{-x}]

равносильны уравнению

    [{x-1over x+2}=1-x?]

Ссылка на основную публикацию