15. Правила Лопиталя*

Швейцарский математик Иоганн I Бернулли (1667-1748) после успешного окончания Базельского университета, путешествуя по Европе, в 1690 году приезжает в Париж. В литературном салоне философа Никола Мальбранша (1638-1715) Иоганн знакомится с французским математиком маркизом Гийомом Франсуа Антуаном де Лопиталем (1661-1704). В ходе оживленной беседы Лопиталь удивился, как легко, “как бы играя”, юнец Бернулли решал трудные задачи по новому исчислению. Поэтому Лопиталь попросил прочитать ему несколько лекций. Устные беседы понравились Лопиталю, и он за приличный гонорар стал получать материалы в письменном виде. Заметим, что общеизвестное теперь “правило Лопиталя” для раскрытия неопределенностей также было передано ему Иоганном. Уже в 1696 году появился знаменитый трактат Лопиталя “Введение в анализ бесконечно малых для понимания кривых линий”. Вторая часть курса, изложенного Иоганном I Бернулли, была опубликована лишь в 1742 году и называлась “Математические лекции о методе интегралов и другие; написаны для знаменитого маркиза Госпиталия; годы 1691–1692”. В 1921 году были обнаружены рукописные копии лекций, написанные рукой Иоганна I Бернулли, оригиналы которых были переданы Лопиталю в 1691–1692 гг. Из них ученые неожиданно обнаружили, что Лопталь в своем “Анализе” почти не отступал от лекций своего молодого учителя.

Теорема (Коши). Пусть функции f и g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b) и g^{prime}(x)ne0 forall xin(a,b). Тогда exists cin(a,b):

    [{f(b)-f(a)over g(b)-g(a)}={f^{prime}(c)over g^{prime}(c)}.]

Доказательство. Рассмотрим функцию

    [F(x)=f(x)-Ag(x).]

A выберем так, чтобы выполнялись все условия теоремы Ролля, т.е. F(b)=F(a).

    [begin{array}{l} displaystyle f(a)-Ag(a)=f(b)-Ag(b),\[4mm] displaystyle A={f(b)-f(a)over g(b)-g(a)},\[4mm] displaystyle F(x)=f(x)-{f(b)-f(a)over g(b)-g(a)}g(x). end{array}]

По теореме Ролля существует cin(a,b):

    [F^{prime}(c)=f^{prime}(c)-{f(b)-f(a)over g(b)-g(a)}g^{prime}(c)=0.]

Первое правило Лопиталя

Определение. Пусть функции f,g:[a,b]tomathbb{R}, непрерывны на [a,b], дифференцируемы в (a,b), причем forall xin(a,b) g^{prime}(x)ne0. Пусть f(a)=g(a)=0. Тогда говорят, что отношение displaystyle {f(x)over g(x)} при xto a+0 представляет собой неопределенность вида displaystyle {0over 0}.

Теорема. Если при указанных условиях существует

    [lim_{xto a+0}{f^{prime}(x)over g^{prime}(x)}=A,]

то и

    [lim_{xto a+0}{f(x)over g(x)}=A.]

Пусть A конечно. По varepsilon>0 выберем x_0: в интервале (a,x_0) выполняется неравенство

    [left|{f^{prime}(x)over g^{prime}(x)}-Aright|<varepsilon .eqno(1)]

Применим теорему Коши к отрезку (a,x), где a<x<x_0. Существует cin(a,x_0):

    [{f(x)over g(x)}={f(x)-f(a)over g(x)-g(a)}={f^{prime}(c)over g^{prime}(c)}]

и, значит, forall x: a<x<x_0

    [left|{f(x)over g(x)}-Aright|=left|{f^{prime}(c)over g^{prime}(c)}-Aright|<varepsilon .]

Это и означает, что displaystyle A=lim_{xto a+0}{f(x)over g(x)}.

В случае, когда A бесконечно, неравенство (1) заменяется на
displaystyle {f^{prime}(x)over g^{prime}(x)}>{1over varepsilon} или displaystyle {f^{prime}(x)over g^{prime}(x)}<-{1over varepsilon}
в зависимости от знака A. В остальном доказательство не меняется.

Второе правило Лопиталя

Определение. Пусть функции f,g:(a,b)tomathbb{R}, непрерывны и дифференцируемы в (a,b), причем forall xin(a,b) g^{prime}(x)ne0. Пусть f(a)=g(a)=infty. Тогда говорят, что отношение displaystyle {f(x)over g(x)} при xto a+0 представляет собой неопределенность вида displaystyle {inftyover infty}.

Теорема. Если при указанных условиях существует

    [lim_{xto a+0}{f^{prime}(x)over g^{prime}(x)}=A,]

то и

    [lim_{xto a+0}{f(x)over g(x)}=A.]

Доказательство. Пусть A конечно. По varepsilon>0 выберем x_0: в интервале (a,x_0) выполняется неравенство

    [left|{f^{prime}(x)over g^{prime}(x)}-Aright|<varepsilon.eqno(2)]

Определим функцию D(x,x_0) из условия

    [{f(x)over g(x)}={f(x)-f(x_0)over g(x)-g(x_0)}D(x,x_0).]

Имеем

    [D(x,x_0)={{g(x)-g(x_0)over g(x)}over {f(x)-f(x_0)over f(x)}}={1-{g(x_0)over g(x)}over 1-{f(x_0)over f(x)}}to1 eqno(3)]

при xto a+0. Применим к отрезку [x,x_0] теорему Коши. Получим, что существует cin(x,x_0):

    [{f(x)over g(x)}={f^{prime}(c)over g^{prime}(c)}cdot D(x,x_0)={f^{prime}(c)over g^{prime}(c)}+{f^{prime}(c)over g^{prime}(c)}(D(x,x_0)-1).]

Для тех x, для которых |D(x,x_0)-1|<varepsilon

    [left|{f(x)over g(x)}-Aright|leleft|{f^{prime}(x)over g^{prime}(x)}-Aright|+left|{f^{prime}(c)over g^{prime}(c)}right||D(x,x_0)-1|levarepsilon+(|A|+varepsilon)varepsilon .eqno(4)]

Так как varepsilon произвольно мало, то

    [lim_{xto a+0}{f(x)over g(x)}=A.]

В случае, когда A=+infty, неравенство (2) заменяется на

    [{f^{prime}(x)over g^{prime}(x)}>{1over varepsilon} ,]

а неравенство (4) — на неравенство

    [{f(x)over g(x)}ge{f^{prime}(c)over g^{prime}(c)}cdot{1over 2},]

имеющим место при x, достаточно близких к a в силу (3).

Аналогично рассматривается случай A=-infty.

Ссылка на основную публикацию