14. Необходимые и достаточные условия

Рассмотрим теорему

Предикат $P(x)to Q(x)$ является истинным для всех $xin E$ тогда и только тогда, когда множество истинности предиката $P(x)$ содержится в множестве истинности предиката $Q(x)$ , т.е. предикат $Q(x)$ является следствием предиката $P(x)$ . При этом предикат $Q(x)$ называют необходимым условием для предиката $P(x)$ , а предикат $P(x)$ — достаточным условием для $Q(x)$ .

Пример. Рассмотрим утверждение: “Если число $x$ делится на 6, то число $x$ делится на 3”. Здесь предикат $P(x)$ : “Число $x$ делится на 6”, а предикат $Q(x)$ : “Число $x$ делится на 3”. Предикат $Q(x)$ логически следует из предиката $P(x)$ . Предикат $P(x)$ (делимость числа $x$ на 6) является достаточным условием для предиката $Q(x)$ (делимость числа $x$ на 3). Предикат $Q(x)$ (делимость числа $x$ на 3) является необходимым условием для предиката $P(x)$ (делимость числа $x$ на 6).

Часто встречается ситуация, при которой истинны теоремы

$[begin{array}{l} forall xin E (P(x)to Q(x));\ forall xin E (Q(x)to P(x)). end{array}]$

Это возможно при условии, что предикаты $P(x)$ и $Q(x)$ равносильны. В таком случае из первой теоремы следует, что условие $P(x)$ является достаточным для $Q(x)$ , а из второй теоремы следует, что условие $P(x)$ является необходимым для $Q(x)$ . Таким образом, в этом случае условие $P(x)$ является и необходимым, и достаточным условием для $Q(x)$ . Аналогично, условие $Q(x)$ является необходимым и достаточным для $P(x)$ .

Пример. Рассмотрим теоремы: “В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “Если в четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, в этот четырехугольник можно вписать окружность”. Обе они истинны. Каждое из условий “В четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “В четырехугольник можно вписать окружность” является и необходимым, и достаточным.

Триггер

Задача. В электронной схеме на вход подаются значения 0 и 0. Что будет на выходе?

Значения на выходе не зависят от входных значений $0,0$ , они зависят от того, что было на выходе ранее. Если было значение $1$ , то оно и останется, а если $0$ , то и будет $0$ . Если же на левый вход подадим $1$ , то на выходе получим $0$ независимо от того, что будет на входе справа. Если подать на правый вход $1$ , то на выходе будет $1$ .

Триггер — это элемент памяти компьютера. Процесс запоминания — подача на правый вход $1$ . $1$ хранится в памяти — на обоих входах — $0$ . Очистка памяти — подача $1$ на левый вход.

Задачи.

1. Запишите на языке предикатов определения:

1) ограниченной функции (функция $f$ называется ограниченной на множестве $M$ , если существует такое неотрицательное число $L$ , что для всех $xin M$ справедливо неравенство $|f(x)|le L$ );

2) четной функции (функция $f$ называется четной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и для каждого $x$ из области определения справедливо равенство $f(-x)=f(x)$ ;

3) периодической функции (функция $f$ называется периодической, если существует такое число $Tne0$ , что при любом $x$ из области определения $f$ элементы $x-T$ и $x+T$ также принадлежат этой области, и при этом выполнено равенство $f(xpm T)=f(x))$ ;

4) возрастающей функции на множестве $M$ (функция $f$ называется возрастающей на множестве $M$ , если для любых чисел $x_1$ и $x_2$ , принадлежащих множеству $M$ , из неравенства $x_1<x_2$ следует неравенство $f(x_1)le f(x_2)$ ).

2. Пользуясь полученными в задаче 1 формулами ответьте на вопросы. Что значит:

1) Функция не является ограниченной?

2) Функция не является четной?

3) Функция не является периодической?

4) Функция не является возрастающей на множестве $M$ ?

3. Докажите несправедливость утверждений:

1) Если функция непрерывна в точке $x_0$ , то она и дифференцируема в этой точке.

2) Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником.

3) Если числовая последовательность имеет предел, то она монотонна.

4. Для каждого из следующих условий выясните, является ли оно необходимым и является ли оно достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство $x^2-2x-8le0$

1) $x=0$ ;

2) $xge-3$ ;

3) $x>-2$ ;

4) $xge-1$ и $xle3$ ;

5) $xge-1$ и $x<10$ ;

6) $-2le xle10$ .

5. В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова “необходимо, но недостаточно” или “достаточно, но не необходимо” или же “не необходимо и недостаточно”, а где возможно “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное утверждение:

1) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольным $ldots$ , чтобы длины его диагоналей были равны.

2) Для того, чтобы $x^2-5x+6=0$ $ldots$ , чтобы $x=3$ .

3) Для того, чтобы сумма четного числа натуральных чисел была четным числом, ldots, чтобы каждое слагаемое было четным.

4) Для того, чтобы окружность можно было вписать в четырехугольник, $ldots$ , чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.

5) Для того, чтобы множество $A$ было счетным, $ldots$ , чтобы его элементы можно было записать в виде занумерованной последовательности.

6) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, $ldots$ , чтобы она была ограниченной.

7) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, $ldots$ , чтобы она была монотонна и ограниченна.

6. Сформулируйте:

1) Необходимый и достаточный признак параллелограмма.

2) Необходимый, но недостаточный признак параллелограмма.

3) Достаточный, но не необходимый признак параллелограмма.

4) Необходимое, но недостаточное условие того, чтобы уравнение $sin x=a$ имело решение.

5) Достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы уравнение $sin x=a$ имело решения.

6) Достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы уравнение $x^2+px+q=0$ имело вещественные корни.

7. Папа сказал детям: “Если мы с мамой поедем летом в дом отдыха, то вы все поедете в детский лагерь.” В школе детей спросили, куда они поедут летом. Петя ответил: “Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха.” Галя сказала: “Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в
лагерь.” “Нет, не так, — вмешался Коля. — Если мы не поедем в лагерь, то кто-то из родителей не поедет в дом отдыха.”

Чей ответ равносилен тому, что сказали родители?

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40