Рассмотрим теорему
Предикат является истинным для всех
тогда и только тогда, когда множество истинности предиката
содержится в множестве истинности предиката
, т.е. предикат
является следствием предиката
. При этом предикат
называют необходимым условием для предиката
, а предикат
— достаточным условием для
.
Пример. Рассмотрим утверждение: “Если число делится на 6, то число
делится на 3”. Здесь предикат
: “Число
делится на 6”, а предикат
: “Число
делится на 3”. Предикат
логически следует из предиката
. Предикат
(делимость числа
на 6) является достаточным условием для предиката
(делимость числа
на 3). Предикат
(делимость числа
на 3) является необходимым условием для предиката
(делимость числа
на 6).
Часто встречается ситуация, при которой истинны теоремы
Это возможно при условии, что предикаты и
равносильны. В таком случае из первой теоремы следует, что условие
является достаточным для
, а из второй теоремы следует, что условие
является необходимым для
. Таким образом, в этом случае условие
является и необходимым, и достаточным условием для
. Аналогично, условие
является необходимым и достаточным для
.
Пример. Рассмотрим теоремы: “В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “Если в четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, в этот четырехугольник можно вписать окружность”. Обе они истинны. Каждое из условий “В четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “В четырехугольник можно вписать окружность” является и необходимым, и достаточным.
Триггер
Задача. В электронной схеме на вход подаются значения
Значения на выходе не зависят от входных значений , они зависят от того, что было на выходе ранее. Если было значение
, то оно и останется, а если
, то и будет
. Если же на левый вход подадим
, то на выходе получим
независимо от того, что будет на входе справа. Если подать на правый вход
, то на выходе будет
.
Триггер — это элемент памяти компьютера. Процесс запоминания — подача на правый вход .
хранится в памяти — на обоих входах —
. Очистка памяти — подача
на левый вход.
Задачи.
1. Запишите на языке предикатов определения:
1) ограниченной функции (функция называется ограниченной на множестве
, если существует такое неотрицательное число
, что для всех
справедливо неравенство
);
2) четной функции (функция называется четной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и для каждого
из области определения справедливо равенство
;
3) периодической функции (функция называется периодической, если существует такое число
, что при любом
из области определения
элементы
и
также принадлежат этой области, и при этом выполнено равенство
;
4) возрастающей функции на множестве (функция
называется возрастающей на множестве
, если для любых чисел
и
, принадлежащих множеству
, из неравенства
следует неравенство
).
2. Пользуясь полученными в задаче 1 формулами ответьте на вопросы. Что значит:
1) Функция не является ограниченной?
2) Функция не является четной?
3) Функция не является периодической?
4) Функция не является возрастающей на множестве ?
3. Докажите несправедливость утверждений:
1) Если функция непрерывна в точке , то она и дифференцируема в этой точке.
2) Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником.
3) Если числовая последовательность имеет предел, то она монотонна.
4. Для каждого из следующих условий выясните, является ли оно необходимым и является ли оно достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство
1) ;
2) ;
3) ;
4) и
;
5) и
;
6) .
5. В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова “необходимо, но недостаточно” или “достаточно, но не необходимо” или же “не необходимо и недостаточно”, а где возможно “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное утверждение:
1) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольным , чтобы длины его диагоналей были равны.
2) Для того, чтобы , чтобы
.
3) Для того, чтобы сумма четного числа натуральных чисел была четным числом,
4) Для того, чтобы окружность можно было вписать в четырехугольник, , чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.
5) Для того, чтобы множество было счетным,
, чтобы его элементы можно было записать в виде занумерованной последовательности.
6) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, , чтобы она была ограниченной.
7) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, , чтобы она была монотонна и ограниченна.
6. Сформулируйте:
1) Необходимый и достаточный признак параллелограмма.
2) Необходимый, но недостаточный признак параллелограмма.
3) Достаточный, но не необходимый признак параллелограмма.
4) Необходимое, но недостаточное условие того, чтобы уравнение имело решение.
5) Достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы уравнение имело решения.
6) Достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы уравнение имело вещественные корни.
7. Папа сказал детям: “Если мы с мамой поедем летом в дом отдыха, то вы все поедете в детский лагерь.” В школе детей спросили, куда они поедут летом. Петя ответил: “Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха.” Галя сказала: “Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в
лагерь.” “Нет, не так, — вмешался Коля. — Если мы не поедем в лагерь, то кто-то из родителей не поедет в дом отдыха.”
Чей ответ равносилен тому, что сказали родители?