13. Предикаты и области истинности

Кроме высказываний, рассматриваются также высказывания с переменными, т.е. буквами, вместо которых можно подставлять определенные значения (например, числа). Если вместо всех переменных подставить их значения, то высказывание с переменными превратится в обычное высказывание.

Например, рассмотрим высказывание с переменной .

— истинное высказывание,

— ложное высказывание.

Те наборы значений переменных, при которых получается истинное высказывание, образуют область истинности высказывания с переменными.

Определение. Предикат — это высказывание с переменными.

Пример. Область истинности предиката — ;
предиката — ;
предиката — на рис. 1:

Рис. 1

Область истинности предиката , где
— свободные переменные, — связанная переменная, изображена на следующие рис. 2:

Рис. 2

Область истинности предиката изображена на рис. 3 (оси координат не включаем):

Рис. 3

Область истинности предиката изображена на рис. 4:

Рис. 4

Если в предикаты и входят одни и те же переменные, то область истинности предиката есть пересечение, а область истинности предиката — объединение областей истинности данных предикатов.

Задачи.

1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истинности:

1) ;

2) при выполняется равенство ;

3) ;

4) Существует такое число , что ;

5) ;

6) однозначное число кратно 3;

7) ;

8 ) .

2. Пусть даны предикаты: : — четное число и : кратно , определенные на множестве натуральных чисел. Найти области истинности предикатов

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3. Даны предикаты

определенные на множестве вещественных чисел. Установить, какие из следующих высказываний истинны и какие ложны:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4. Пусть предикат . Показать, что высказывания

имеют разные логические значения.

Пусть даны два предиката и . Предикат является следствием предиката (), если область истинности содержится в области истинности . Предикаты и равносильны, если их области истинности совпадают.

Задачи.

1. Будут ли следующие предикаты равносильны или один из них является следствием другого?

1) и ;

2) и ;

3) и .

2. Изобразите на плоскости области истинности предикатов:

1) ;

2) ;

3) .

3. На множестве заданы предикаты

: не делится на ;

: — четное число;

: — число простое;

: кратно .

Найдите множества истинности предикатов

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

4. Изобразите на координатной плоскости области истинности предикатов:

1) ;

2) ;

3) .

5. Будет ли истинно высказывание

если : число делится на , : число делится на , : число делится на ?

6. Найти отрицание формул:

1) ;

2) ;

3) .

7. Пусть предикат : . Какие из следующих предложений истинны, а какие ложны:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8 ) .

8. Найти отрицания формул:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .