Кроме высказываний, рассматриваются также высказывания с переменными, т.е. буквами, вместо которых можно подставлять определенные значения (например, числа). Если вместо всех переменных подставить их значения, то высказывание с переменными превратится в обычное высказывание.
Например, рассмотрим высказывание с переменной .
— истинное высказывание,
— ложное высказывание.
Те наборы значений переменных, при которых получается истинное высказывание, образуют область истинности высказывания с переменными.
Определение. Предикат — это высказывание с переменными.
Пример. Область истинности предиката —
;
предиката —
;
предиката — на рис. 1:

Рис. 1
Область истинности предиката , где
— свободные переменные,
— связанная переменная, изображена на следующие рис. 2:

Рис. 2
Область истинности предиката изображена на рис. 3 (оси координат не включаем):

Рис. 3
Область истинности предиката изображена на рис. 4:

Рис. 4
Если в предикаты и
входят одни и те же переменные, то область истинности предиката
есть пересечение, а область истинности предиката
— объединение областей истинности данных предикатов.
Задачи.
1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истинности:
1) ;
2) при выполняется равенство
;
3) ;
4) Существует такое число , что
;
5) ;
6) однозначное число кратно 3;
7) ;
8 ) .
2. Пусть даны предикаты: :
— четное число и
:
кратно
, определенные на множестве натуральных чисел. Найти области истинности предикатов
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
3. Даны предикаты
определенные на множестве вещественных чисел. Установить, какие из следующих высказываний истинны и какие ложны:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
4. Пусть предикат . Показать, что высказывания
имеют разные логические значения.
Пусть даны два предиката и
. Предикат
является следствием предиката
(
), если область истинности
содержится в области истинности
. Предикаты
и
равносильны, если их области истинности совпадают.
Задачи.
1. Будут ли следующие предикаты равносильны или один из них является следствием другого?
1) и
;
2) и
;
3) и
.
2. Изобразите на плоскости области истинности предикатов:
1) ;
2) ;
3) .
3. На множестве заданы предикаты
:
не делится на
;
:
— четное число;
:
— число простое;
:
кратно
.
Найдите множества истинности предикатов
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
4. Изобразите на координатной плоскости области истинности предикатов:
1) ;
2) ;
3) .
5. Будет ли истинно высказывание
если : число
делится на
,
: число
делится на
,
: число
делится на
?
6. Найти отрицание формул:
1) ;
2) ;
3) .
7. Пусть предикат :
. Какие из следующих предложений истинны, а какие ложны:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8 ) .
8. Найти отрицания формул:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .