12. Теоремы Ролля и Лагранжа

Однажды французского математика и механика Жозефа Луи Лагранжа (1736–1813) кто-то спросил на музыкальном вечере, почему он любит музыку, и получил неожиданный ответ: “Я люблю ее потому, что она изолирует меня. Я слышу первые три такта; на четвертом я ничего не различаю; я предаюсь своим мыслям, и ничто не отвлекает меня, именно таким образом я решил не одну трудную задачу”.

Теорема. Пусть , непрерывна во всех точках этого промежутка. Тогда множество значений функции — замкнутый ограниченный промежуток.

В частности, у функции есть наибольшее и наименьшее значения.

Теорема (Ролль). Пусть . Предположим, что

1) функция непрерывна на ;

2) функция дифференцируема во всех внутренних точках ;

3) .

Тогда существует точка , в которой .

Доказательство. По предыдущей теореме, функция принимает на наибольшее и наименьшее значения. Пусть она достигает наибольшего и наименьшего значения в точках и соответственно. Если и — концы отрезка , то, поскольку , наибольшее и наименьшее значения функции совпадают. Значит, функция постоянна, и производная ее во всех внутренних точках равна нулю. Значит, в качестве можно взять любую внутреннюю точку . Пусть хотя бы одно из чисел лежит внутри отрезка . Тогда по теореме Ферма получаем, что производная функции в этой точке равна нулю.

Замечание. Пусть не выполняется третье условие

Пусть не выполняется второе условие

Пусть не выполняется первое условие

Теорема (Лагранж). Пусть и выполняются условия:

1) функция непрерывна на ;

2) дифференцируема на .

Тогда существует :

Доказательство. Пусть . Рассмотрим функцию :

Из условия теоремы ясно, что функция непрерывна на и дифференцируема на . Подберем и так, чтобы

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Тогда существует : .