Однажды французского математика и механика Жозефа Луи Лагранжа (1736–1813) кто-то спросил на музыкальном вечере, почему он любит музыку, и получил неожиданный ответ: “Я люблю ее потому, что она изолирует меня. Я слышу первые три такта; на четвертом я ничего не различаю; я предаюсь своим мыслям, и ничто не отвлекает меня, именно таким образом я решил не одну трудную задачу”.
Теорема. Пусть , непрерывна во всех точках этого промежутка. Тогда множество значений функции
— замкнутый ограниченный промежуток.
В частности, у функции есть наибольшее и наименьшее значения.
Теорема (Ролль). Пусть . Предположим, что
1) функция непрерывна на
;
2) функция дифференцируема во всех внутренних точках
;
3) .
Тогда существует точка , в которой
.
Доказательство. По предыдущей теореме, функция принимает на
наибольшее и наименьшее значения. Пусть она достигает наибольшего и наименьшего значения в точках
и
соответственно. Если
и
— концы отрезка
, то, поскольку
, наибольшее и наименьшее значения функции
совпадают. Значит, функция
постоянна, и производная ее во всех внутренних точках
равна нулю. Значит, в качестве
можно взять любую внутреннюю точку
. Пусть хотя бы одно из чисел
лежит внутри отрезка
. Тогда по теореме Ферма получаем, что производная функции
в этой точке равна нулю.
Замечание. Пусть не выполняется третье условие
Пусть не выполняется второе условие
Пусть не выполняется первое условие
Теорема (Лагранж). Пусть и выполняются условия:
1) функция непрерывна на
;
2) дифференцируема на
.
Тогда существует :
Доказательство. Пусть . Рассмотрим функцию
:
Из условия теоремы ясно, что функция непрерывна на
и дифференцируема на
. Подберем
и
так, чтобы
Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Тогда существует
:
.