12. Геометрическое место точек плоскости

Покажем на примере, как на плоскости построить геометрическое место точек (г.м.т.), задаваемое неравенством с модулем.

Пример. Построить множество точек на плоскости, задаваемое неравенством

    [|x-2|+|y+3|le1.]

Решение. Нужно рассмотреть четыре случая:

1) xge2,yge-3. Тогда |x-2|=x-2, |y+3|=y+3, и неравенство
принимает вид x-2+y+3le1Leftrightarrowyle -x. Каждое из множеств закрасим xge2 (полуплоскость, лежащая правее прямой x=2 — горизонтальная штриховка), yge-3 (полуплоскость, лежащая выше прямой y=-3 — вертикальная штриховка) и yle-x (полуплоскость, лежащая ниже прямой y=-x — косая штриховка).

Получится рис. 16:

Рис. 16

Все три штриховки пересекаются на треугольнике PAB, где P=(2,-3), A=(2,-2), B=(3,-3). Следовательно, этот треугольник есть первая часть ответа.

2) xge2,y<-3. Тогда |x-2|=x-2, |y+3|=-y-3, и наше неравенство принимает вид x-2-y-3le1Leftrightarrowyge x-6. Так же, как и в первом случае, штрихуем полуплоскости xge2, yge x-6 и полуплоскость без граничной прямой y<-3.

Второй частью ответа будет треугольник PBC без стороны PB, где C=(2,-4), а точки P и B те же, что и в первом случае.

3) x<2,yge-3. Тогда |x-2|=2-x, |y+3|=y+3, и имеем неравенство 2-x+y+3le1leftrightarrowyle x-4.

Третья часть ответа — треугольник PAD без стороны PA, где D=(1,-3).

4) x<2,y<-3. Тогда |x-2|=2-x, |y+3|=-y-3, и имеем неравенство -x+2-y-3le1leftrightarrowyge-x-2.

Последняя часть ответа — треугольник PDC без сторон PD и PC.

Ответ. Искомое множество — квадрат, изображенный на рис. 17:

Рис. 17

Задачи. Изобразите на плоскости множество точек (x,y), заданное указанными соотношениями:

1. displaystylefrac{x}{|x|}=frac{y}{|y|}.

2. displaystyleleft|frac{x}{y}right|le1.

3. |y+1|le2.

4. |x+1|+|y+1|le3.

5. |x-y|+|x-1|ge1.

Ссылка на основную публикацию