11. Решение неравенств с модулем

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при решении уравнений, а затем решить полученные неравенства на соответствующих множествах (иными словами, решить полученные системы неравенств).

Пример 1. Решить неравенство

    [|x^2-5x|<6.]

Решение. Рассмотрим два случая: 1) x^2-5xge0 и 2) x^2-5x<0.

1) В этом случае неравенство равносильно системе

    [left{begin{array}{l} x^2-5xge0,\ x^2-5x<6 end{array}right.]

Преобразуя первое неравенство к виду x(x-5)ge0, получим (см. рис. 13):

Рис. 13

Решение неравенства (-infty;0]cup[5;+infty).

Преобразуя второе неравенство (x+1)(x-6)<0, получим (см. рис. 14):

Рис. 14

Решение неравенства (-1;6). Решением системы является пересечение решений неравенств, то есть (-1;0]cup[5;6).

2) В этом случае неравенство равносильно системе:

    [left{begin{array}{l} x^2-5x<0,\ -(x^2-5x)<6. end{array}right.]

Решение первого неравенства (0;5) (см. рисунок к случаю 1)). Неравенство преобразуется к (x-2)(x-3)>0, его решение (-infty;2)cup(3;+infty) (см. рис. 15):

Рис. 15

Решение системы — пересечение множеств решений двух неравенств, то есть (0;2)cup(3;5).

Общее решение исходного неравенства — объединение решений обоих случаев.

Ответ. (-1;2)cup(3;6).

Замечание. В данном случае проще было из определения модуля получить двойное неравенство -6<x^2-5x<6, а затем его решить.

Пример 2. Решить неравенство

    [|x-3|+|x+3|le9.]

Решение. Точки -3 и 3 (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При xge3 выполняется left{begin{array}{l} x-3ge0\x+3>0 end{array}right., и неравенство имеет вид 2xle9, то есть xle4.5. В этом случае ответ [3;4.5].

2) При -3le x<3 выполняется left{begin{array}{l} x-3<0\x+3ge0 end{array}right., неравенство имеет вид -(x-3)+(x+3)le9, то есть 6le9. Это неравенство верно при любых значениях переменной x, и, с учетом того, что мы решаем его на множестве -3le x<3, получаем ответ во втором случае [-3;3).

3) При x<-3 выполняется left{begin{array}{l} x-3<0\x+3<0 end{array}right., неравенство преобразуется к -2xle9, и решение в этом случае [-4.5;-3). Общее решение неравенства — объединение трех полученных ответов.

Ответ. [-4.5;4.5].

Задачи. Решите неравенства:

1. |x|+|x+3| < 5.

2. 1+x+|x^2-x-3| < 0.

3. displaystyleleft|frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}right| < 3.

4. displaystyle left|frac{x+3}{x-27}right| < 1.

Ссылка на основную публикацию