11. Применение производной. Точки экстремума

Определение. Пусть f:Xtomathbb{R}, ain X. Точка a называется точкой локального максимума функции f, если существует такой открытый промежуток U, ain U, что forall xin Xcap Uf(x)le f(a).

Определение. Пусть f:Xtomathbb{R}, ain X. Точка a называется точкой локального минимума функции f, если существует такой открытый промежуток U, ain U, что forall xin Xcap Uf(x)ge f(a).

Пример. Пусть f:[0,1]tomathbb{R}, f(x)=x.

0 — точка минимума, 1 — точка максимума.

Определение. Точка a называется точкой экстремума, если a либо точка минимума, либо точка максимума.

Теорема (Ферма). Пусть X — промежуток, f:Xtomathbb{R}, a — внутренняя точка X, a — точка экстремума функции f. Пусть f дифференцируема в точке a. Тогда f^{prime}(a)=0.

Доказательство.

    [f^{prime}(a)=lim_{xto a}{f(x)-f(a)over x-a} .]

Пусть a — точка максимума Rightarrow существует открытый промежуток U:

    [begin{array}{lll} forall xin Ucap X&f(x)le f(a),&\[4mm] xin Ucap X&x<aRightarrow&displaystyle {f(x)-f(a)over x-a}ge0,\[4mm] xin Ucap X&x>aRightarrow&displaystyle {f(x)-f(a)over x-a}le0,\[4mm] displaystyle lim_{xto a-0}{f(x)-f(a)over x-a}ge0&&displaystylelim_{xto a+0}{f(x)-f(a)over x-a}le0,\[4mm] displaystyle lim_{xto a}{f(x)-f(a)over x-a}=0 .&& end{array}]

Замечание. Обращение теоремы Ферма неверно.

    [begin{array}{l} f(x)=x^3,\[2mm] f^{prime}(x)=3x^2,\[2mm] f^{prime}(0)=0. end{array}]

Несмотря на то что производная f в нуле равна нулю, 0 не точка экстремума.

Ссылка на основную публикацию