Определение. Пусть ,
. Точка
называется точкой локального максимума функции
, если существует такой открытый промежуток
,
, что
.
Определение. Пусть ,
. Точка
называется точкой локального минимума функции
, если существует такой открытый промежуток
,
, что
.
Пример. Пусть ,
.
— точка минимума,
— точка максимума.
Определение. Точка называется точкой экстремума, если
либо точка минимума, либо точка максимума.
Теорема (Ферма). Пусть — промежуток,
,
— внутренняя точка
,
— точка экстремума функции
. Пусть
дифференцируема в точке
. Тогда
.
Доказательство.
Пусть — точка максимума
существует открытый промежуток
:
Замечание. Обращение теоремы Ферма неверно.
Несмотря на то что производная в нуле равна нулю,
не точка экстремума.