11. Применение производной. Точки экстремума

Определение. Пусть $f:Xtomathbb{R}$ , $ain X$ . Точка $a$ называется точкой локального максимума функции $f$ , если существует такой открытый промежуток $U$ , $ain U$ , что $forall xin Xcap U$ $f(x)le f(a)$ .

Определение. Пусть $f:Xtomathbb{R}$ , $ain X$ . Точка $a$ называется точкой локального минимума функции $f$ , если существует такой открытый промежуток $U$ , $ain U$ , что $forall xin Xcap U$ $f(x)ge f(a)$ .

Пример. Пусть $f:[0,1]tomathbb{R}$ , $f(x)=x$ .

$0$ — точка минимума, $1$ — точка максимума.

Определение. Точка $a$ называется точкой экстремума, если $a$ либо точка минимума, либо точка максимума.

Теорема (Ферма). Пусть $X$ — промежуток, $f:Xtomathbb{R}$ , $a$ — внутренняя точка $X$ , $a$ — точка экстремума функции $f$ . Пусть $f$ дифференцируема в точке $a$ . Тогда $f^{prime}(a)=0$ .

Доказательство.

$[f^{prime}(a)=lim_{xto a}{f(x)-f(a)over x-a} .]$

Пусть $a$ — точка максимума $Rightarrow$ существует открытый промежуток $U$ :

$[begin{array}{lll} forall xin Ucap X&f(x)le f(a),&\[4mm] xin Ucap X&x<aRightarrow&displaystyle {f(x)-f(a)over x-a}ge0,\[4mm] xin Ucap X&x>aRightarrow&displaystyle {f(x)-f(a)over x-a}le0,\[4mm] displaystyle lim_{xto a-0}{f(x)-f(a)over x-a}ge0&&displaystylelim_{xto a+0}{f(x)-f(a)over x-a}le0,\[4mm] displaystyle lim_{xto a}{f(x)-f(a)over x-a}=0 .&& end{array}]$

Замечание. Обращение теоремы Ферма неверно.

$[begin{array}{l} f(x)=x^3,\[2mm] f^{prime}(x)=3x^2,\[2mm] f^{prime}(0)=0. end{array}]$

Несмотря на то что производная $f$ в нуле равна нулю, $0$ не точка экстремума.

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40