11. Базис. Размерность*

Будем рассматривать конечно порожденные системы векторов , т.е. существует конечная система векторов таких, что каждый вектор из является их линейной комбинацией. Будем предполагать, что .

Лемма. Существует линейно независимая система.

Возьмем любой ненулевой вектор.

Лемма. Если имеет систему образующих из векторов, то в любой линейно независимой системе число векторов не больше .

Доказательство. Пусть — линейно независимая система векторов, . Каждый вектор является линейной комбинацией векторов образующей системы

По теореме о линейной зависимости линейных комбинаций векторы будут линейно зависимыми.

Определение. Система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима и ее нельзя включить в большую линейно независимую систему в качестве подсистемы.

Существование максимальных линейно независимых систем. Возьмем любой вектор . Будем добавлять к нему векторы , так, чтобы все векторы были линейно независимы. Придем к максимальной системе за конечное число шагов.

Определение. Базисом линейного пространства называется система векторов такая, что

1) — система образующих пространства ;

2) — линейно независимая система.

Теорема. Система векторов является базисом линейного пространства тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.

Доказательство.

Пусть — базис . Тогда по определению — линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации , т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов

Значит, базис — максимальная линейно независимая система.

Пусть — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:

т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.

Теорема. Базис линейного пространства может быть выбран из любой системы образующих.

Доказательство. Пусть . Выберем максимальную линейно независимую систему из векторов . Пусть это векторы .

Тогда система векторов , где , линейно зависима, иначе исходная не была бы максимальной. Тогда

Для любого вектора

Тогда система векторов — система образующих.

Теорема. В каждом базисе линейного пространства содержится одно и то же число векторов.

Доказательство. Пусть — базисы. Если , то поскольку каждый вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов , то число линейных комбинаций больше числа комбинируемых векторов. Противоречие. Отсюда .

Определение. Число векторов в базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Обозначение .

Если , то .

Теорема. Если , то любые линейно независимых векторов образуют базис.

Доказательство. Это максимальная линейно независимая система векторов.

Теорема. Разложение каждого вектора по базисным единственно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть вектор раскладывается по базисным векторам двумя способами:

Векторы линейно независимы. Тогда

Определение. Коэффициенты в разложении вектора по базисным векторам называются координатами вектора в базисе .

Каждому вектору в фиксированном базисе соответствует один и только один столбец координат.

При сложении векторов складываем столбцы координат, при умножении на число — каждую координату умножаем на это число.

Задачи.

1. Найдите базис и размерность линейного пространства трехмерных вектор-столбцов, у которых вторая координата нулевая.

2. Найдите какой-нибудь базис и размерность линейного пространства всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.

3. Найдите все базисы системы векторов