11. Базис. Размерность*

Будем рассматривать конечно порожденные системы векторов {cal L}=<a_1,a_2,ldots,a_n>, т.е. существует конечная система векторов a_1,a_2,ldots,a_n таких, что каждый вектор из {cal L} является их линейной комбинацией. Будем предполагать, что {cal L}ne{0}.

Лемма. Существует линейно независимая система.

Возьмем любой ненулевой вектор.

Лемма. Если {cal L} имеет систему образующих из n векторов, то в любой линейно независимой системе число векторов не больше n.

Доказательство. Пусть b_1,ldots,b_m — линейно независимая система векторов, m>n. Каждый вектор b_j является линейной комбинацией векторов образующей системы

    [b_j=alpha_{j1}a_1+alpha_{j2}a_2+ldots+alpha_{jm}a_m.]

По теореме о линейной зависимости линейных комбинаций векторы b_1,ldots,b_m будут линейно зависимыми.

Определение. Система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима и ее нельзя включить в большую линейно независимую систему в качестве подсистемы.

Существование максимальных линейно независимых систем. Возьмем любой вектор a_1nemathbb{O}. Будем добавлять к нему векторы a_2,ldots,a_n, nle m так, чтобы все векторы были линейно независимы. Придем к максимальной системе за конечное число шагов.

Определение. Базисом линейного пространства {cal L} называется система векторов e_1,ldots,e_n такая, что

1) e_1,ldots,e_n — система образующих пространства {cal L};

2) e_1,ldots,e_n — линейно независимая система.

Теорема. Система векторов e_1,ldots,e_n является базисом линейного пространства {cal L} тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.

Доказательство. Longrightarrow

Пусть e_1,ldots,e_n — базис {cal L}. Тогда по определению e_1,ldots,e_n — линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации e_1,ldots,e_n, т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов a,e_1,ldots,e_n

    [a=alpha_1e_1+alpha_2e_2+ldots+alpha_ne_n.]

Значит, базис — максимальная линейно независимая система.

Longleftarrow

Пусть e_1,ldots,e_n — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:

    [a=alpha_1e_1+alpha_2e_2+ldots+alpha_ne_n,]

т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.

Теорема. Базис линейного пространства может быть выбран из любой системы образующих.

Доказательство. Пусть {cal L}=<a_1,ldots,a_m>. Выберем максимальную линейно независимую систему из векторов a_1,ldots,a_m. Пусть это векторы a_1,ldots,a_n.

Тогда система векторов a_1,ldots,a_n,a_j, где n<jle m, линейно зависима, иначе исходная не была бы максимальной. Тогда

    [a_j=gamma_1a_1+gamma_2a_2+ldots+gamma_na_n.]

Для любого вектора a

    [begin{array}{l} a=alpha_1a_1+alpha_2a_2+ldots+alpha_na_n+ldots+alpha_ma_m=\ =lambda_1a_1+lambda_2a_2+ldots+lambda_na_n. end{array}]

Тогда система векторов a_1,ldots,a_n — система образующих.

Теорема. В каждом базисе линейного пространства содержится одно и то же число векторов.

Доказательство. Пусть begin{array}{l} e_1,ldots,e_n,\ f_1,ldots,f_m end{array} — базисы. Если m>n, то поскольку каждый вектор f_1,ldots,f_m можно представить в виде линейной комбинации векторов e_1,ldots,e_n, то число линейных комбинаций больше числа комбинируемых векторов. Противоречие. Отсюда m=n.

Определение. Число векторов в базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Обозначение dim{cal L}.

Если {cal L}={0}, то dim{cal L}=0.

Теорема. Если dim{cal L}=n, то любые n линейно независимых векторов образуют базис.

Доказательство. Это максимальная линейно независимая система векторов.

Теорема. Разложение каждого вектора по базисным единственно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть вектор x раскладывается по базисным векторам двумя способами:

    [begin{array}{l} x=alpha_1e_1+alpha_2e_2+ldots+alpha_ne_n;\ x=alpha_1 'e_1+alpha_2 'e_2+ldots+alpha_n 'e_n;\ 0=(alpha_1 '-alpha_1)e_1+(alpha_2 '-alpha_2)e_2+ldots+(alpha_n '-alpha_n)e_n. end{array}]

Векторы e_1,ldots,e_n линейно независимы. Тогда

    [begin{array}{l} alpha_k '-alpha_k=0,\ alpha_k '=alpha_k. end{array}]

Определение. Коэффициенты alpha_1,ldots,alpha_n в разложении вектора x по базисным векторам называются координатами вектора x в базисе e_1,ldots,e_n.

Каждому вектору в фиксированном базисе e_1,ldots,e_n соответствует один и только один столбец координат.

При сложении векторов складываем столбцы координат, при умножении на число — каждую координату умножаем на это число.

Задачи.

1. Найдите базис и размерность линейного пространства трехмерных вектор-столбцов, у которых вторая координата нулевая.

2. Найдите какой-нибудь базис и размерность линейного пространства всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.

3. Найдите все базисы системы векторов

    [a_1=left(begin{array}{c} 1\ 2\ 0\ 0 end{array}right), a_2=left(begin{array}{c} 1\ 2\ 3\ 4 end{array}right), a_3=left(begin{array}{c} 3\ 6\ 0\ 0 end{array}right) .]

Ссылка на основную публикацию