10. Линейные пространства*

Определение. Пусть даны множество {cal L}={ a,b,c,ldots} и поле mathbb{K}={alpha,beta,gamma,ldots}. Множество {cal L} называется линейным пространством над полем mathbb{K} (полем вещественных или комплексных чисел), если для элементов множества {cal L} определены операции сложения и умножения на число:

1) a+bin {cal L};

2) alpha ain{cal L}

и выполняются следующие свойства:

относительно сложения

1. a+b=b+a;

2. (a+b)+c=a+(b+c);

3. существует нулевой элемент 0: a+0=a;

4. для любого ненулевого элемента a существует противоположный элемент -a: a+(-a)=0;

относительно умножения на число

1. lambda(mu a)=mu(lambda a);

2. (lambda+mu)a=lambda a+mu a;

3. lambda(a+b)=lambda a+lambda b;

4. 1cdot a=a.

Элементы линейного пространства называют векторами.

Рассмотрим все столбцы длины n (компоненты вещественные или комплексные):

    [X=left(begin{array}{c} x_1\ x_2\ ldots\ x_n end{array}right); Y=left(begin{array}{c} y_1\ y_2\ ldots\ y_n end{array}right).]

Столбец со всеми нулевыми компонентами будем обозначать mathbb{O}.

X=Y, если для любого i: x_i=y_i (все компоненты равны).

    [X+Y=left(begin{array}{c} x_1+y_1\ x_2+y_2\ ldots\ x_n+y_n end{array}right);quad lambda X=left(begin{array}{c} lambda x_1\ lambda x_2\ ldots\ lambda x_n end{array}right)quad lambda,x_i,y_iinmathbb{K}.]

Выполнены все свойства линейного пространства.

Упражнение. Проверьте, что это действительно так.

Определение. Пусть имеются столбцы X_1,X_2,ldots,X_m. Столбец X=alpha_1X_1+alpha_2X_2+ldots+alpha_mX_m называется линейной комбинацией столбцов X_1,X_2,ldots,X_m. Здесь alpha_1,alpha_2,dots,alpha_minmathbb{K}.

Определение. Система столбцов X_1,X_2,ldots,X_m называется линейно зависимой, если существует их линейная комбинация, равная нулевому вектору, и хотя бы одно alpha_ine0.

Определение. Система линейно независима, если

    [alpha_1X_1+alpha_2X_2+ldots+alpha_mX_m=mathbb{O}Longrightarrow alpha_1=alpha_2=ldots=alpha_m=0.]

Свойства

1. Система из одного ненулевого вектора линейно независима.

    [alpha X=mathbb{O}Longleftrightarrow alpha=0 vee X=mathbb{O}.]

2. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

    [1cdot X_1+0cdot X_2+ldots+0cdot X_m=mathbb{O}.]

3. Система векторов, содержащая как подсистему систему линейно зависимых векторов, линейно зависима. Иначе: если векторы

    [X_1,ldots,X_k]

линейно зависимы, то и векторы

    [X_1,ldots,X_k,X_{k+1}ldots,X_m]

всегда линейно зависимы.

    [begin{array}{l} sqsupset alpha_ine0,\ underbrace{alpha_1 X_1+ldots+alpha_k X_k}_{=mathbb{O}}+0cdot X_{k+1}+ldots+0cdot X_m=mathbb{O}. end{array}]

4. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

5. Система векторов линейно независима, следовательно, хотя бы какой-то один вектор является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Доказательство. Необходимость.

    [alpha_1X_1+alpha_2X_2+ldots +alpha_mX_m=mathbb{O}]

и пусть alpha_mne0. Тогда

    [X_m=gamma_1X_1+ldots+gamma_{m-1}X_{m-1},]

где gamma_k=-alpha_k/alpha_m.

Достаточность. Пусть X_m=gamma_1X_1+ldots+gamma_{m-1}X_{m-1}. Тогда

    [gamma_1X_1+ldots+gamma_{m-1}X_{m-1}-X_m=mathbb{O}.]

Коэффициент при X_m равен -1ne0.

Теорема. Пусть a_1,ldots,a_n — система векторов. Пусть линейные комбинации этой системы

    [begin{array}{l} b_1=alpha_{11}a_1+alpha_{12}a_2+ldots+alpha_{1n}a_n,\ b_2=alpha_{21}a_1+alpha_{22}a_2+ldots+alpha_{2n}a_n,\ ldots,\ b_m=alpha_{m1}a_1+alpha_{m2}a_2+ldots+alpha_{mn}a_n. end{array}]

Если m>n, то векторы b_1,ldots,b_m линейно зависимы.

Доказательство. Индукцией по n.

База n=1.

    [b_1=alpha_1 a,b_2=alpha_2 a,ldots,b_m=alpha_m a;quad m>1.]

Если все alpha_j=0, то система будет линейно зависима. Если существует alpha_jne0(alpha_1ne0), то

    [begin{array}{l} (-alpha_2)b_1+underbrace{alpha_1}_{ne0}b_2+0cdot b_3+ldots+0cdot b_m=0.\ -alpha_2alpha_1 a+alpha_1alpha_2a=mathbb{O}. end{array}]

Пусть для n-1 вектора теорема верна.

I. Пусть alpha_{11}=alpha_{21}=ldots=alpha_{n1}=0. Тогда b_1,ldots,b_m будут являться линейными комбинациями a_2,ldots,a_nn-1 вектора. Условие m>n выполняется. По индукционному предположению b_1,ldots,b_m линейно зависимы.

II. Существует alpha_{s1}ne0. Пусть alpha_{11}ne0. Составим новую систему векторов b_2 ',ldots,b_m':

    [begin{array}{l} displaystyle b_2 '=b_2-{alpha_{21}over alpha_{11}}b_1=alpha_{22}'a_2+ldots+alpha_{2n}'a_n,\[3mm] ldots\ displaystyle b_m'=b_m-{alpha_{m1}over alpha_{11}}b_1=alpha_{m2}'a_2+ldots+alpha_{mn}'a_n. end{array}]

Имеем m-1 линейную комбинацию n-1 вектора (m-1>n-1). По индукционному предположению векторы b_2 ',ldots,b_m' линейно зависимы.

    [beta_2b_2 '+ldots+beta_mb_m'=mathbb{O}quadbeta_kne0.]

Подставим выражение displaystyle b_k'=b_k-{alpha_{k1}over alpha_{11}}b_1:

    [beta_1=-{alpha_{21}over alpha_{11}}beta_2-ldots-{alpha_{m1}over alpha_{11}}beta_m.]

Тогда векторы линейно зависимы и существует beta_kne0.

Задачи.

1. Будут ли линейно зависимы векторы

    [left(begin{array}{c} 1\ 1\ 1 end{array}right), left(begin{array}{c} 1\ 1\ 2 end{array}right), left(begin{array}{c} 1\ 2\ 3 end{array}right)?]

2. Является ли линейным пространством множество векторов длины 3, у которых равны первая и третья координаты?

Ссылка на основную публикацию