1. Вещественные числа. Операции над множествами

Множество — совокупность некоторых предметов, которые называются элементами, объединенных по некоторому признаку.

Множество — понятие неопределимое, основное понятие математики.

Примеры. 1) Множество прямоугольников.

2) A={1,2,3}.

3) Множество планет Солнечной системы.

4) mathbb{N}={1,2,3,4,ldots} — множество натуральных чисел.

Обозначения: mathbb{Q} — множество рациональных чисел; mathbb{Z} — множество целых чисел; mathbb{R} — множество вещественных чисел.

xin Ax — элемент множества A;

emptyset или { } — пустое множество.

Способы задания множеств

I. Перечисляются все элементы множества

Примеры.

1)A={2;5;3;4},

2) B={1;2;3;ldots;1000},

3) C={2;4;6;8;ldots;20}.

II. Множество задается выражением с указанием значений, принимаемых входящими в это выражение переменными.

Примеры.

1) A={2n+5|ninmathbb{N}},

A={7;9;11;13;ldots}.

2) B={3n+1|ninmathbb{Z}},

B={ldots;-5;-2;1;4;7;ldots}.

3) X={n^2+n-2|ninmathbb{Z};-3le nle3},

X={4;0;-2;10}.

III. Задание множества характеристическим свойством элементов.

Характеристической свойство — свойство, которым обладают все элементы множества и больше ничего.

Примеры.

1) A={ x|x^2=4},

2) B={ x| x^5+5x+5=0},

3) C — множество всех натуральных n, для которых уравнение

    [x^n+y^n=z^n]

разрешимо в натуральных числах.

Пример. Верно или нет следующее

1) 2inleft{ x| 2x^3-3x^2+1=0right}?

Неверно, так как 2cdot2^3-3cdot2^2+1ne0.

2) displaystyle-3inleft{ x|{x^3-1over x^2+2}<-2right}?

Верно, так как displaystyle{(-3)^3-1over (-3)^2+2}<-2.

3) displaystyle3inleft{ {2n+1over 3n-2}| ninmathbb{N}right}

Верно, так как displaystyle{2n+1over 3n-2}=3 при n=1inmathbb{N}.

Задачи. Верно ли следующее

1) displaystyle5inleft{ x|{2x^3+7x^{47}over 1-x}=145right};

2) displaystyle3inleft{{5n^2-5nover 6}| ninmathbb{N}right};

3) 2inleft{ n^2+n| ninmathbb{Z}right};

4) Каждый элемент множества {1;-1;2} принадлежит множеству { x|x^3+x^2-x-1=0};

5) Каждый элемент множества {x| 2x-3=2x^3-5x^2+x+3} принадлежит множеству

    [displaystyleleft{ x|{2x-3over 2x^3-5x^2+x+3}=1right}?]

Определение. Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A.

Обозначение. Bsubset A.

Определение. Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, которые входят хотя бы в одно из этих множеств.

Acup B={ x|xin A или xin B}.

Примеры.

1) A={1;2;3;4}, B={3;4;5}, Acup B={1;2;3;4;5}.

2) displaystyle A={2n+1|ninmathbb{Z}}, B={2n|ninmathbb{Z}}</tex>, <tex>Acup B=mathbb{Z},

3) A={ninmathbb{Z}|nnotvdots6}, B={ninmathbb{Z}|nnotvdots9},
Acup B={ninmathbb{Z}|nnotvdots18},

    [Acup B={dots;1;2;3;4;5;6;7;8;9ldots}.]

Определение. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

    [Acap B={ x|xin A& xin B}.]

Примеры.

1) A={ ninmathbb{Z}|nvdots5}, B={ ninmathbb{Z}|nvdots3},

    [Acap B={ nin mathbb{Z}|nvdots15}.]

2) A={2n|ninmathbb{Z}}, B={ 7n|ninmathbb{Z}},

    [Acap B={14n|ninmathbb{Z}} .]

3) A — множество всех ромбов, B — множество всех
прямоугольников, Acap B — множество всех квадратов.

4) Bsubset A, Acap B=B, Acup B=A.

Определение. Разностью множеств A и B называется множество всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B.

Обозначение. Asetminus B={ xin A|xnotin B}.

Для наглядности операции над множествами будем иллюстрировать рисунками. Множества будем изображать в виде кругов на плоскости.

Замечание. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера — Венна. Леонард Эйлер (1707–1783) — выдающийся математик, механик и физик, длительное время живший и работавший в Петербурге. Джон Венн (1834–1923) — английский логик.

На рисунке приведена диаграмма Эйлера — Венна, поясняющая определение объединения множеств A и B.

Примеры.

1) A={ 2n|ninmathbb{Z}}, B={ 4n+2|ninmathbb{Z}},

    [Asetminus B={4n|ninmathbb{Z}} .]

2) A — множество ромбов, B — множество прямоугольников, Asetminus B — множество ромбов, не являющихся квадратами.

Задачи. Найдите объединение, пересечение и разность множеств

1) A={1;2;3;4;5}, B={3;7;1;9},

2) A={ ninmathbb{N}|nvdots2}, B={ ninmathbb{N}|nvdots18},

3) Докажите утверждение

    [Acap(Bcup C)=(Acap B)cup(Acap C) .]

4) A={3n-1|ninmathbb{N}}, B={5n+2|ninmathbb{N}}, C={2n+1|ninmathbb{N}}. Найдите а) Acap B; б) Acap Bcap C; в) (Acap B)cup C.

Пример. Знание определений операций над множествами позволяет доказывать равенство множеств, полученных в результате применения этих операций. Так, например, докажем свойство операций объединения и пересечения

    [Acup(Bcap C)=(Acup B)cap(Acup C).]

Для доказательства равенства множеств X и Y нам необходимо доказать, что каждый элемент множества X является элементом множества Y и обратно, каждый элемент множества Y является элементом множества X.

Пусть xin Acup(Bcap C). Тогда либо xin A, либо xin Bcap C. Если xin A, то xin Acup B и xin Acup C, а следовательно, по определению пересечения множеств, xin(Acup B)cap(Acup C). Если xin Bcap C, то xin B и xin C. Следовательно, xin Acup B и xin Acup C, откуда xin(Acup B)cap(Acup C). Тем самым, мы доказали, что

    [Acup(Bcap C)supset(Acup B)cap(Acup C).]

Пусть xin(Acup B)cap(Acup C). Тогда xin Acup B и xin Acup C. Следовательно, xin A, или xin B и xin C,
откуда, по определению объединения множеств, xin Acup(Bcap C). Тем самым, мы доказали, что

    [Acup(Bcap C)subset(Acup B)cap(Acup C).]

Следовательно, имеем равенство

    [Acup(Bcap C)=(Acup B)cap(Acup C).]

Замечание. Диаграмма Эйлера — Венна, иллюстрирующая свойство операции над множествами, ни в коем случае доказательством не является! Это просто иллюстрация к тому, о чем говорится.

Ссылка на основную публикацию