1. Способы задания последовательностей

Определение. Последовательностью (бесконечной) называется функция, область определения которой — множество натуральных чисел.

Обозначения. (x_n),(a_n),(alpha_n),(t_k).

Способы задания последовательностей

I. Задается формула или правило вычисления n-го члена последовательности по значению n.

Пример.

    [a_n=(-1)^n+2.]

II. Рекуррентный способ задания последовательности. В этом случае задается формула или правило, позволяющая вычислить каждый член последовательности, если известно определенное число предыдущих членов. Если каждый член, начиная с k+1-го, выражен через k предыдущих, то нужно, кроме того, задать k первых членов последовательности.

Пример. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида x_{n+1}=x_n+d. Задан первый член арифметической прогрессии x_1. Число d называется разностью прогрессии.

Пример. Геометрическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида x_{n+1}=x_nq. Задан первый член геометрической прогрессии x_1. Число q называется знаменателем прогрессии.

Пример. Последовательность Фибоначчи.

    [begin{array}{l} x_1=x_2=1; x_{n+2}=x_{n}+x_{n+1}, mbox{ rm при } nge1,\ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,dots end{array}]

Леонардо Пизанский (1180–1240) имел прозвище Фибоначчи, т.е. “сын Боначчо” (Боначчо — добродушный). Основные достижения Леонардо Пизанского изложены в его сочинениях “Книга абака” и “Практика геометрии”.

К последовательности чисел Фибоначчи привела следующая задача:

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех строн стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Причем природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца.

Пример. Возвратные последовательности — последовательности, определенные рекуррентными соотношениями вида x_{n+2}=px_{n+1}+qx_{n} при заданных x_1 и x_2.

Ссылка на основную публикацию