Определение. Множество элементов называется полем, если для этих элементов определены действия: сложение и умножение и выполняются свойства
относительно сложения:
1) коммутативность ;
2) ассоциативность ;
3) существование нуля: ;
4) существование противоположного элемента: ;
относительно умножения:
5) коммутативность ;
6) ассоциативность ;
7) существование единицы ;
8 ) для любого ненулевого элемента существование обратного .
относительно сложения и умножения:
9) дистрибутивность (распределительный закон) ;
10) в поле должно существовать хотя бы два элемента .
Определение. Множество элементов называется кольцом, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения, и выполняются свойства:\
относительно сложения:
1) коммутативность ;
2) ассоциативность ;
3) существование нуля: ;
4) существование противоположного элемента: ;
относительно сложения и умножения:
5) дистрибутивность (распределительный закон) — правосторонний распределительный закон.
5′) дистрибутивность (распределительный закон) — левосторонний распределительный закон.
Поскольку коммутативности умножения не требуется, то распределительных закона два.
Кольцо называется коммутативным, если есть коммутативность умножения, ассоциативным, если ассоциативность, унитарным (или кольцом с единицей), если в нем есть .
Определение. Многочленом (полиномом) называется выражение вида
где — элементы некоторого поля
,
— буква,
— коэффициенты полинома,
— старший коэффициент.
Если , то число
называется степенью многочлена. Степень нулевого многочлена не будем считать равной какому-либо конкретному числу, но будем считать, что она меньше степени любого ненулевого многочлена.
Обозначение. — степень многочлена
.
Условимся считать, что многочлен не меняется, если приписать к нему слагаемое .
Пусть и
— многочлены над одним и тем же полем, пусть
Будем говорить, что , если
и
.
Пример (метод неопределенных коэффициентов). Требуется найти значения такие, чтобы выполнялось равенство
Отсюда .
Можно определить обычным образом сумму, разность, произведение многочленов и доказать, что при этом выполняются обычные законы действий.
Свойства степени многочлена
1) ,
2) .
Задачи.
1) Найдите все значения параметров и
такие, что многочлены
и
равны, если
2) Найдите все значения параметров такие, что при всех
выполняется равенство
3) Найдите все значения параметров и
такие, что многочлен
является кубом двучлена
.
4) Найдите многочлен третьей степени со старшим коэффициентом единицей и такой, что
.