1. Многочлены, или полиномы

Определение. Множество элементов называется полем, если для этих элементов определены действия: сложение и умножение и выполняются свойства

относительно сложения:

1) коммутативность ;
2) ассоциативность ;
3) существование нуля: ;
4) существование противоположного элемента: ;

относительно умножения:

5) коммутативность ;

6) ассоциативность ;
7) существование единицы ;
8 ) для любого ненулевого элемента существование обратного .

относительно сложения и умножения:

9) дистрибутивность (распределительный закон) ;
10) в поле должно существовать хотя бы два элемента .

Определение. Множество элементов называется кольцом, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения, и выполняются свойства:\

относительно сложения:

1) коммутативность ;
2) ассоциативность ;
3) существование нуля: ;
4) существование противоположного элемента: ;
относительно сложения и умножения:

5) дистрибутивность (распределительный закон) — правосторонний распределительный закон.

5′) дистрибутивность (распределительный закон) — левосторонний распределительный закон.

Поскольку коммутативности умножения не требуется, то распределительных закона два.

Кольцо называется коммутативным, если есть коммутативность умножения, ассоциативным, если ассоциативность, унитарным (или кольцом с единицей), если в нем есть .

Определение. Многочленом (полиномом) называется выражение вида

где — элементы некоторого поля , — буква, — коэффициенты полинома, — старший коэффициент.

Если , то число называется степенью многочлена. Степень нулевого многочлена не будем считать равной какому-либо конкретному числу, но будем считать, что она меньше степени любого ненулевого многочлена.

Обозначение. — степень многочлена .

Условимся считать, что многочлен не меняется, если приписать к нему слагаемое .

Пусть и — многочлены над одним и тем же полем, пусть

Будем говорить, что , если и .

Пример (метод неопределенных коэффициентов). Требуется найти значения такие, чтобы выполнялось равенство

Отсюда .

Можно определить обычным образом сумму, разность, произведение многочленов и доказать, что при этом выполняются обычные законы действий.

Свойства степени многочлена

1) ,
2) .

Задачи.

1) Найдите все значения параметров и такие, что многочлены и равны, если

2) Найдите все значения параметров такие, что при всех выполняется равенство

3) Найдите все значения параметров и такие, что многочлен является кубом двучлена .

4) Найдите многочлен третьей степени со старшим коэффициентом единицей и такой, что .