1. Дифференциал и производная

Определение. Пусть функция $f$ задана на множестве $X$ , $ain X$ . Производная функции $f$ в точке $a$ есть

$[f'(a)=lim_{hto 0}{f(a+h)-f(a)over h}.]$

Определение. Пусть функция $f$ задана на множестве $X$ , $ain X$ . Производная функции $f$ в точке $a$ есть

$[f'(a)=lim_{xto a}{f(x)-f(a)over x-a}.]$

Доказательство равносильности двух определений.

$[begin{array}{l} displaystyle forall (x_n): x_nne a,x_nto a,x_nin X {f(x_n)-f(a)over x_n-a}to f'(a),\[4mm] displaystyle forall (h_n): h_nne 0,h_nto 0,x_nin X {f(a+h_n)-f(a)over h_n}to f'(a). end{array}]$

Рассмотрим разность

Функция $varphi$ задана $forall hne0$ и $a+hin X$

$[f(a+h)-f(a)=f'(a)+varphi(h)h, displaystyle lim_{hto 0}varphi(h)=0.]$

Если произвольным образом задать значение функции $varphi$ при $h=0$ , то последнее равенство будет выполняться и при $h=0$ .

Определение. Пусть $f:Xto mathbb{R}$ , $ain X$ . Функция $f$ называется дифференцируемой в точке $a$ , если существует такое число $c$ и такая функция $varphi$ , что имеет место равенство

$[f(a+h)-f(a)=ch+varphi(h)h, forall h: a+hin X lim_{hto0}varphi(h)=0.]$

Функция, которая каждому числу $h$ ставит в соответствие число $ch$ , называется дифференциалом функции $f$ в точке $a$ .

Мы доказали, что если у функции $f$ есть производная в точке $a$ , то $f$ дифференцируема в этой точке (за число $c$ можно взять число $f'(a)$ ).

Докажем, что если функция $f$ дифференцируема в точке $a$ , то у нее есть производная в точке $a$ .

$[{f(a+h)-f(a)over h}=c+varphi(h), lim_{hto0}{f(a+h)-f(a)over h}=lim_{hto0}(c+varphi(h))=c.]$

Попутно мы доказали, что число $c$ в правой части равенства определяется однозначно и равно $f^{prime}(a)$ .

Обозначение. $df(a)$ — дифференциал функции $f$ в точке $a$ .

Дифференциал — линейная функция приращения $h$ :

$[df(a)(h)=f^{prime}(a)h.]$

Пример. $f(x)equiv c,$

$[begin{array}{l@{}l@{}l} f(x+h)-f(x)=&0cdot h+&0cdot h,\ &f'(x)&varphi(h),\ df(x)=0,&&\ f'(x)=0.&& end{array}]$

Пример. $f(x)=x,$

$[begin{array}{l@{}l@{}l} f(x+h)-f(x)=&1cdot h+&0cdot h,\ &f'(x)&varphi(h),\ df(x)(h)=h,&&\ f'(x)=1.&& end{array}]$

Пример. $f(x)=x^3,$

$[begin{array}{r@{}l@{}l} f(x+h)-f(x)=(x+h)^3-x^3=&3x^2h+&(3xh+h^2)h,\ &f'(x)&varphi(h),\ df(x)(h)=3x^2h,&&\ f'(x)=3x^2.&& end{array}]$

$dx$ — обозначение дифференциала тождественной функции

$[df(x)(dx)=f^{prime}(x)dx,]$

$[fbox{$df(x)=f^{prime}(x)dx$}]$

Обозначения. $displaystyle f^{prime}(x)={df(x)over dx}={dfover dx}(a), f'(a)=left.{dfover dx}right|_{x=a}.$

Задачи. 1) Вычислите приращения $varphi(h)=f(x_0+h)-f(x_0)$ для данных функций $y=f(x)$ и данной точки $x_0=1$ , постройте соответствующие графики функций $y=varphi(h)$ , постройте графики функций $displaystyle psi(h)=frac{varphi(h)}{h}$ , найдите $displaystyle lim_{hto0}psi(h)$ , если он существует.

а) $f(x)=2x+3$ ;

б) $f(x)=x^2-2x$ ;

в) $displaystyle f(x)=frac{1}{x}$ ;

г) $f(x)=|x+1|$ .

2) Для данных функций $y=f(x)$ и данной точки $x_0=-1$ вычислите производную

$[f^{prime}(x)=lim_{xto0}frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} ,]$

составьте выражение

$[tau(h)=f(x_0+h)-f(x_0)-f^{prime}(x_0)h]$

и докажите, что $displaystylelim_{hto0}tau(h)=0$ , найдите $displaystylelim_{hto0}frac{tau(h)}{h}$ .

а) $f(x)=3x-1$ ;

б) $displaystyle f(x)=frac{1}{x+2}$ .

3) Выясните, для каких из данных функций $y=f(x)$ найдется такое число $k$ , что при всех $h$ функция $varphi(h)=f(x_0+h)-f(x_0)$ (при $x_0=1$ ) может быть представлена в виде $varphi(h)=kh+tau(h)$ , где

а) $displaystyle lim_{hto0}tau(h)=0$ , б) $displaystyle lim_{hto0}frac{tau(h)}{h}=0$ .

1. $f(x)=5x-1$ ;

2. $f(x)=x^2-6x+3$ ;

$f(x)=left{begin{array}{l} 2x, xge1,\ x+1, x<1. end{array}right.$

4) Найдите дифференциал функции $f(x)=sqrt[3]{x}$ и с его помощью приближенно вычислите значение данной функции в точке $x_1=9$ .

5) Приведите примеры функций, имеющих производные везде, кроме: а) одной точки; б) двух точек; в) трех точек; г) целых чисел.

6) Выясните, имеют ли данные функции производную в точке $x_0=0$ :

а)

$[f(x)=left{begin{array}{l} displaystyle xsinfrac{1}{x}, xne0,\[4mm] 0, x=0. end{array}right.]$

б)

$[f(x)=left{begin{array}{l} x+1, xge0,\ x^2+1, x > 0. end{array}right.]$

7) Найдите все значения параметров $a$ и $b$ , такие, что функция

$[f(x)=left{begin{array}{l} x, xge1,\ ax^2+bx, x <1 end{array}right.]$

а) непрерывна в $x_0=1$ ;
б) дифференцируема в $x_0=1$ .

8 ) Исследуйте функции на дифференцируемость

а) $y=x|x|$ ;
б) $y=|sin x|$ ;
в)

$[f(x)=left{begin{array}{l} x, xinmathbb{Q},\ 0, xinmathbb{R}setminusmathbb{Q}. end{array}right.]$

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40