Определение. Пусть функция задана на множестве
,
. Производная функции
в точке
есть
Определение. Пусть функция задана на множестве
,
. Производная функции
в точке
есть
Доказательство равносильности двух определений.
Рассмотрим разность
Функция задана
и
Если произвольным образом задать значение функции при
, то последнее равенство будет выполняться и при
.
Определение. Пусть ,
. Функция
называется дифференцируемой в точке
, если существует такое число
и такая функция
, что имеет место равенство
Функция, которая каждому числу ставит в соответствие число
, называется дифференциалом функции
в точке
.
Мы доказали, что если у функции есть производная в точке
, то
дифференцируема в этой точке (за число
можно взять число
).
Докажем, что если функция дифференцируема в точке
, то у нее есть производная в точке
.
Попутно мы доказали, что число в правой части равенства определяется однозначно и равно
.
Обозначение. — дифференциал функции
в точке
.
Дифференциал — линейная функция приращения :
Пример.
Пример.
Пример.
— обозначение дифференциала тождественной функции
Обозначения.
Задачи. 1) Вычислите приращения для данных функций
и данной точки
, постройте соответствующие графики функций
, постройте графики функций
, найдите
, если он существует.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2) Для данных функций и данной точки
вычислите производную
составьте выражение
и докажите, что , найдите
.
а) ;
б) .
3) Выясните, для каких из данных функций найдется такое число
, что при всех
функция
(при
) может быть представлена в виде
, где
а) , б)
.
1. ;
2. ;
3.
4) Найдите дифференциал функции и с его помощью приближенно вычислите значение данной функции в точке
.
5) Приведите примеры функций, имеющих производные везде, кроме: а) одной точки; б) двух точек; в) трех точек; г) целых чисел.
6) Выясните, имеют ли данные функции производную в точке :
а)
б)
7) Найдите все значения параметров и
, такие, что функция
а) непрерывна в ;
б) дифференцируема в .
8 ) Исследуйте функции на дифференцируемость
а) ;
б) ;
в)