1. Дифференциал и производная

Определение. Пусть функция f задана на множестве X, ain X. Производная функции f в точке a есть

    [f'(a)=lim_{hto 0}{f(a+h)-f(a)over h}.]

Определение. Пусть функция f задана на множестве X, ain X. Производная функции f в точке a есть

    [f'(a)=lim_{xto a}{f(x)-f(a)over x-a}.]

Доказательство равносильности двух определений.

    [begin{array}{l} displaystyle forall (x_n): x_nne a,x_nto a,x_nin X {f(x_n)-f(a)over x_n-a}to f'(a),\[4mm] displaystyle forall (h_n): h_nne 0,h_nto 0,x_nin X {f(a+h_n)-f(a)over h_n}to f'(a). end{array}]

Рассмотрим разность

    [varphi(h)={f(a+h)-f(a)over h}-f'(a).]

Функция varphi задана forall hne0 и a+hin X

    [f(a+h)-f(a)=f'(a)+varphi(h)h, displaystyle lim_{hto 0}varphi(h)=0.]

Если произвольным образом задать значение функции varphi при h=0, то последнее равенство будет выполняться и при h=0.

Определение. Пусть f:Xto mathbb{R}, ain X. Функция f называется дифференцируемой в точке a, если существует такое число c и такая функция varphi, что имеет место равенство

    [f(a+h)-f(a)=ch+varphi(h)h,  forall h: a+hin X lim_{hto0}varphi(h)=0.]

Функция, которая каждому числу h ставит в соответствие число ch, называется дифференциалом функции f в точке a.

Мы доказали, что если у функции f есть производная в точке a, то f дифференцируема в этой точке (за число c можно взять число f'(a)).

Докажем, что если функция f дифференцируема в точке a, то у нее есть производная в точке a.

    [f(a+h)-f(a)=ch+varphi(h)h,]

    [{f(a+h)-f(a)over h}=c+varphi(h),  lim_{hto0}{f(a+h)-f(a)over h}=lim_{hto0}(c+varphi(h))=c.]

Попутно мы доказали, что число c в правой части равенства определяется однозначно и равно f^{prime}(a).

Обозначение. df(a) — дифференциал функции f в точке a.

Дифференциал — линейная функция приращения h:

    [df(a)(h)=f^{prime}(a)h.]

Пример. f(x)equiv c,

    [begin{array}{l@{}l@{}l} f(x+h)-f(x)=&0cdot h+&0cdot h,\ &f'(x)&varphi(h),\ df(x)=0,&&\ f'(x)=0.&& end{array}]

Пример. f(x)=x,

    [begin{array}{l@{}l@{}l} f(x+h)-f(x)=&1cdot h+&0cdot h,\ &f'(x)&varphi(h),\ df(x)(h)=h,&&\ f'(x)=1.&& end{array}]

Пример. f(x)=x^3,

    [begin{array}{r@{}l@{}l} f(x+h)-f(x)=(x+h)^3-x^3=&3x^2h+&(3xh+h^2)h,\ &f'(x)&varphi(h),\ df(x)(h)=3x^2h,&&\ f'(x)=3x^2.&& end{array}]

dx — обозначение дифференциала тождественной функции

    [df(x)(dx)=f^{prime}(x)dx,]

    [fbox{$df(x)=f^{prime}(x)dx$}]

Обозначения. displaystyle f^{prime}(x)={df(x)over dx}={dfover dx}(a), f'(a)=left.{dfover dx}right|_{x=a}.

Задачи. 1) Вычислите приращения varphi(h)=f(x_0+h)-f(x_0) для данных функций y=f(x) и данной точки x_0=1, постройте соответствующие графики функций y=varphi(h), постройте графики функций displaystyle psi(h)=frac{varphi(h)}{h}, найдите displaystyle lim_{hto0}psi(h), если он существует.

а) f(x)=2x+3;

б) f(x)=x^2-2x;

в) displaystyle f(x)=frac{1}{x};

г) f(x)=|x+1|.

2) Для данных функций y=f(x) и данной точки x_0=-1 вычислите производную

    [f^{prime}(x)=lim_{xto0}frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} ,]

составьте выражение

    [tau(h)=f(x_0+h)-f(x_0)-f^{prime}(x_0)h]

и докажите, что displaystylelim_{hto0}tau(h)=0, найдите displaystylelim_{hto0}frac{tau(h)}{h}.

а) f(x)=3x-1;

б) displaystyle f(x)=frac{1}{x+2}.

3) Выясните, для каких из данных функций y=f(x) найдется такое число k, что при всех h функция varphi(h)=f(x_0+h)-f(x_0) (при x_0=1) может быть представлена в виде varphi(h)=kh+tau(h), где

а) displaystyle lim_{hto0}tau(h)=0, б) displaystyle lim_{hto0}frac{tau(h)}{h}=0.

1. f(x)=5x-1;

2. f(x)=x^2-6x+3;

3.

f(x)=left{begin{array}{l} 2x, xge1,\ x+1, x<1. end{array}right.

4) Найдите дифференциал функции f(x)=sqrt[3]{x} и с его помощью приближенно вычислите значение данной функции в точке x_1=9.

5) Приведите примеры функций, имеющих производные везде, кроме: а) одной точки; б) двух точек; в) трех точек; г) целых чисел.

6) Выясните, имеют ли данные функции производную в точке x_0=0:

а)

    [f(x)=left{begin{array}{l} displaystyle xsinfrac{1}{x}, xne0,\[4mm] 0, x=0. end{array}right.]

б)

    [f(x)=left{begin{array}{l} x+1, xge0,\ x^2+1, x > 0. end{array}right.]

7) Найдите все значения параметров a и b, такие, что функция

    [f(x)=left{begin{array}{l} x, xge1,\ ax^2+bx, x <1 end{array}right.]

а) непрерывна в x_0=1;
б) дифференцируема в x_0=1.

8 ) Исследуйте функции на дифференцируемость

а) y=x|x|;
б) y=|sin x|;
в)

    [f(x)=left{begin{array}{l} x, xinmathbb{Q},\ 0, xinmathbb{R}setminusmathbb{Q}. end{array}right.]

Ссылка на основную публикацию