Взаимное расположение плоскостей: теория и и примеры

  • Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
  • Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке, точка пересечения
  • Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости

Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости и
заданы общими уравнениями и .

Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла между векторами нормалей к ним

и .

Из определения скалярного произведения
и из выражения в координатах длин векторов и
и их скалярного произведения получим

Условие параллельности плоскостей и
эквивалентно условию коллинеарности векторов и
и заключается в пропорциональности координат этих векторов:

.

Условие перпендикулярности плоскостей и
может быть выражено равенством нулю скалярного произведения векторов нормалей к ним и :

.

Пример 1. Установить, параллельны ли две плоскости,
одна из которых задана уравнением
, а другая —
уравнением .

Решение. Составим уравнения коэффициентов уравнений плоскостей:

Так как ,
то коэффициенты пропорциональны, следовательно данные две плоскости параллельны.

Пример 2. Установить, перпендикулярны ли плоскости, заданные уравнениями
и .

Решение. Плоскости перпендикулярны в том случае, когда векторы и
нормалей к ним перпендикулярны
и удовлетворяют условию равенства нулю их скалярного произведения. Так как ,
то указанное условие выполнено и, значит, данные плоскости перпендикулярны.

Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке, точка пересечения

Необходимым и достаточным условием того, что три плоскости имеют только
одну общую точку (то есть, пересекаются в этой точке), является условие неравенства нулю
определителя, составленного из коэффициентов уравнений:

Это условие совпадает с условием того, что система линейных уравнений
имеет одно единственное решение (пройдя по ссылке можно увидеть иллюстрацию как раз на
примере плоскостей).

Решение системы общих уравнений плоскостей (если оно существует и единственное)
и даёт точку пересечения трёх плоскостей.

Пример 3. Установить, пересекаются ли три плоскости в
одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Сначала проверим, выполняется ли условие пересечения плоскостей
в одной точке. Для этого установим, отличен ли от нуля определитель системы:

Определитель отличен от нуля, следовательно система уравнений имеет единственное
решение, а, значит, три плоскости пересекаются в одной точке.

Для нахождения этой точки продолжим решать систему уравнений методом Крамера. Перенесём
свободные члены в правые части уравнений:

Найдём определители при неизвестных:

Нетрудно заметить, что по формулам Крамера (определитель при неизвестной
делить на определитель системы) все неизвестные оказались равными единице. Таким образом,
получили точку пересечения трёх плоскостей:

(1; 1; 1).

Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться
калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.

Пример 4. Установить, пересекаются ли три плоскости в
одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Проверим, пересекаются ли плоскости в одной точке. Для этого
вычислим определитель системы:

Определитель равен нулю, следовательно, данные три плоскости не пересекаются
в одной точке.

Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться
калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости

Пусть даны точка и
плоскость .
Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости,
имеет вид

.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку (3, -5, 1), и параллельной плоскости
.

Решение. Подставляем в формулу, данную в теоретической сравке к этой главе,
данные точки и другой плоскости. Получаем:

Последнее и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через данную точку,
и параллельной данной плоскости.

  • Плоскость
    • Уравнения плоскости, взаимное расположение плоскостей
  • Прямая в пространстве
    • Уравнения прямой в пространстве
  • Задачи на плоскость и прямую в пространстве
    • Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке
  • Прямая на плоскости
    • Уравнение прямой с угловым коэффициентом
    • Общее уравнение прямой на плоскости
    • Уравнение прямой в отрезках
    • Каноническое уравнение прямой на плоскости
    • Параметрические уравнения прямой на плоскости
    • Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой
    • Угол между двумя прямыми
Ссылка на основную публикацию