Содержание
- Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке, точка пересечения
- Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости
Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Пусть две плоскости 
и 
заданы общими уравнениями 
и 
.
Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла 
между векторами нормалей к ним
и 
.
Из определения скалярного произведения 
и из выражения в координатах длин векторов 
и 
и их скалярного произведения получим
Условие параллельности плоскостей 
и 
эквивалентно условию коллинеарности векторов 
и 
и заключается в пропорциональности координат этих векторов:
.
Условие перпендикулярности плоскостей 
и 
может быть выражено равенством нулю скалярного произведения векторов нормалей к ним 
и 
:
.
Пример 1. Установить, параллельны ли две плоскости,
одна из которых задана уравнением
, а другая —
уравнением 
.
Решение. Составим уравнения коэффициентов уравнений плоскостей:
Так как 
,
то коэффициенты пропорциональны, следовательно данные две плоскости параллельны.
Пример 2. Установить, перпендикулярны ли плоскости, заданные уравнениями
и 
.
Решение. Плоскости перпендикулярны в том случае, когда векторы 
и
нормалей к ним перпендикулярны
и удовлетворяют условию равенства нулю их скалярного произведения. Так как 
,
то указанное условие выполнено и, значит, данные плоскости перпендикулярны.
Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке, точка пересечения
Необходимым и достаточным условием того, что три плоскости имеют только
одну общую точку (то есть, пересекаются в этой точке), является условие неравенства нулю
определителя, составленного из коэффициентов уравнений:
Это условие совпадает с условием того, что система линейных уравнений
имеет одно единственное решение (пройдя по ссылке можно увидеть иллюстрацию как раз на
примере плоскостей).
Решение системы общих уравнений плоскостей (если оно существует и единственное)
и даёт точку пересечения трёх плоскостей.
Пример 3. Установить, пересекаются ли три плоскости в
одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:
Решение. Сначала проверим, выполняется ли условие пересечения плоскостей
в одной точке. Для этого установим, отличен ли от нуля определитель системы:
Определитель отличен от нуля, следовательно система уравнений имеет единственное
решение, а, значит, три плоскости пересекаются в одной точке.
Для нахождения этой точки продолжим решать систему уравнений методом Крамера. Перенесём
свободные члены в правые части уравнений:
Найдём определители при неизвестных:
Нетрудно заметить, что по формулам Крамера (определитель при неизвестной
делить на определитель системы) все неизвестные оказались равными единице. Таким образом,
получили точку пересечения трёх плоскостей:
(1; 1; 1).
Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться
калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.
Пример 4. Установить, пересекаются ли три плоскости в
одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:
Решение. Проверим, пересекаются ли плоскости в одной точке. Для этого
вычислим определитель системы:
Определитель равен нулю, следовательно, данные три плоскости не пересекаются
в одной точке.
Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться
калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости
Пусть даны точка 
и
плоскость 
.
Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости,
имеет вид
.
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку (3, -5, 1), и параллельной плоскости
.
Решение. Подставляем в формулу, данную в теоретической сравке к этой главе,
данные точки и другой плоскости. Получаем:
Последнее и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через данную точку,
и параллельной данной плоскости.
- Плоскость
- Уравнения плоскости, взаимное расположение плоскостей
- Прямая в пространстве
- Уравнения прямой в пространстве
- Задачи на плоскость и прямую в пространстве
- Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке
- Прямая на плоскости
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- Общее уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой в отрезках
- Каноническое уравнение прямой на плоскости
- Параметрические уравнения прямой на плоскости
- Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой
- Угол между двумя прямыми
Загрузка...
