Высота в прямоугольном треугольнике. Свойства. Как найти? — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота проведена к гипотенузе AB. Она делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника — AC mkern -3mu H и C mkern -3mu H mkern -3mu B. Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90^{circ}. Значит, angle AC mkern -3mu H=90^{circ}-angle C mkern -3mu AH, то есть угол AC mkern -3mu H равен углу ABC. Аналогично, угол C mkern -3mu AB равен углу H mkern -3mu C mkern -3mu B.

Иными словами, каждый из трех углов треугольника ABC равен одному из углов треугольника AC mkern -3mu H (и треугольника BC mkern -3mu H). Треугольники ABC, AC mkern -3mu H и BC mkern -3mu H называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Подобные треугольники

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники AC mkern -3mu H и ABC. Стороны треугольника ABC длиннее, чем стороны треугольника AC mkern -3mu H в k раз:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle AC}{displaystyle A mkern -3mu H} =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle C mkern -3mu H} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle AB}{displaystyle AC}

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников ABC, AC mkern -3mu H и BC mkern -3mu H, а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника ABC можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, C mkern -3mu H — высота, BC=3, cos A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{35}}{displaystyle 6}. Найдите A mkern -3mu H.

треугольник ABC

Рассмотрим треугольник ABC. В нем известны косинус угла A и противолежащий катет BC. Зная синус угла A, мы могли бы найти гипотенузу AB. Так давайте найдем sin A:

sin^2 A + cos^2 A = 1
sin^2 A + genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 35}{displaystyle 36} = 1
sin^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 36}
sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6}

(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

AB=BC: sin A = 3: genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6}=3 cdot 6=18

Рассмотрим прямоугольный треугольник BC mkern -3mu H, angle H = 90^{circ}. Поскольку angle H mkern -3mu C mkern -3mu B = angle A

sin H mkern -3mu C mkern -3mu B = H mkern -3mu B : BC

Отсюда H mkern -3mu B=BC cdot sin HC mkern -3mu B = 3 cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6}=0,5

A mkern -3mu H = A mkern -3mu B - H mkern -3mu B=18-0,5=17,5

Ответ: 16.

2. В треугольнике A mkern -3mu BC угол C равен 90^{circ}, AC=8, sin A = 0,5. Найдите высоту C mkern -3mu H.

Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник AC mkern -3mu H.

Ответ: 4.

3. В треугольнике A mkern -3mu BC угол C равен 90^{circ}, AB=13, tg , A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 5}. К гипотенузе проведена высота C mkern -3mu H. Найдите A mkern -3mu H.

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты a и b.

Зато можно записать теорему Пифагора: a^2 + b^2 = 13^2.

Нам известно также, что:

tg , A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 5}

Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

a = sqrt{6,5}:b=5sqrt{6,5}

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

S = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ab = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ch

и найдем C mkern -3mu H = 2,5.

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.

Ссылка на основную публикацию