Вписанный и описанный треугольник — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Вписанные и описанные треугольники

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

S=p cdot r,

где p=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} left( a+b+c right) — полупериметр,

r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части C:

S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R}

где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Теорема синусов

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите cleft( sqrt{2}-1 right).

Рисунок к задаче 1

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен a. Тогда гипотенуза равна asqrt{2}.

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} a^2

S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}left( 2a + asqrt{2}right)r

Приравняв эти выражения, получим, что a=left( 2 + sqrt{2}right)r. Поскольку r=2, получаем, что a=4+2sqrt{2}. Тогда c=asqrt{2}=4+4sqrt{2}=4left( 1+sqrt{2} right).

В ответ запишем cleft( sqrt{2}-1 right)=4.

Ответ: 4.

2. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

По теореме синусов,

genfrac{}{}{}{0}{AC}{sin B}=2R

Получаем, что sin B=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}. Угол B — тупой. Значит, он равен 150^{circ}.

Ответ: 150.

3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Рисунок к задаче 3

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R}

S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ah, где h — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону AB пополам. По теореме Пифагора найдем h=32. Тогда R=25.

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания 16.

Ссылка на основную публикацию