Вписанный и описанный четырехугольники и их свойства — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Вписанный и описанный четырехугольники

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82^{circ} и 58^{circ}. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 1

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180^{circ}. Пусть угол A равен 82^{circ}. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол B равен 58^{circ}, то угол D равен 180^{circ}-58^{circ}=122^{circ}.

Ответ: 122.

2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Рисунок к задаче 2

Пусть сторона AB равна x, AD равна 2x, а DC - 3x. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
x+3x=BC + 2x
Получается, что BC равна 2x. Тогда периметр четырехугольника равен 8x. Мы получаем, что x=4, а большая сторона равна 12.

Ответ: 12.

3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Рисунок к задаче 3

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и c, а боковые стороны — b и d. По свойству описанного четырехугольника,
a+c=b+d, и значит, периметр равен 2left( a+c right).
Получаем, что a+c=40, а средняя линия равна 10.

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180^{circ}.

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

Ссылка на основную публикацию