Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180^{circ}.

Смежные углы

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине B — это угол, смежный с углом alpha. Если угол alpha острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Внешний угол треугольника
Обратите внимание, что:

sin left( 180^{circ} - alpha right) = sin alpha
cos left( 180^{circ} - alpha right) = - cos alpha
tg , left( 180^{circ} - alpha right) = - , tg , alpha

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, cos A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle sqrt{17}} . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

Внешний угол прямоугольного треугольника

Пусть varphi — внешний угол при вершине A.

cos varphi = - cos A = - genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle sqrt{17}}

Зная cos varphi, найдем tg , varphi по формуле

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos^2 varphi}= 1 + tg^2 , varphi

Получим: tg , varphi= - genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 4} = - 0,25

2. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, cos A = 0,1. Найдите синус внешнего угла при вершине B.

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов A и B равна 90^{circ}, sin B = cos A = 0,1. Тогда и синус внешнего угла при вершине B также равен 0,1.

Ссылка на основную публикацию