Уравнение прямой с угловым коэффициентом на плоскости

  • Прямая, проходящая через данную точку в направлении, заданном угловым коэффициентом
  • Прямая, проходящая через две данные точки
  • Прямая, проходящая через данную точку параллельно данной прямой

Прямая, проходящая через данную точку в направлении, заданном угловым коэффициентом

Пусть на плоскости xOy задана прямая, непараллельная оси Oy. Углом
между прямой и осью Ox
называется тот угол между прямой и положительным направлением оси, который расположен в верхней полуплоскости

(рисунок снизу, прямая обозначена красным цветом).

Если прямая параллельна оси или совпадает с нею, то угол
считается равным нулю.

Для того, чтобы составить уравнение прямой, достаточно, чтобы были заданы точка
, лежащая
на этой прямой, и угол наклона
прямой к оси Ox.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой
к оси Ox
.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в случае нашей задачи составляется по формуле

,   (1)

где
координаты точки ,
— угловой коэффициент прямой.

После подстановки указанных выше величин в формулу должно получиться уравнение вида

.   (2)

Пример 1. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом,
если угловой коэффициент и
прямая проходит через точку .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Получили уравнение вида (2).

Проверяем — подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае
получается верное равенство:


Пример 2. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом,
если угол наклона прямой и
прямая проходит через точку .

Решение. Находим угловой коэффициент, то есть тангенс угла наклона прямой:

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Получили уравнение вида (2).

Проверяем — подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае
получается верное равенство:

Решая задачи контрольных работ, надо стараться сделать проверку (для себя), даже если
этого не требует условие задачи.

Как видно на примерах 1 и 2, из возможности проверки верного равенства следует возможность
установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом, любая точка плоскости с
заданными координатами. Проиллюстрируем это следующим примером.

Пример 3. Установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом
точки
и .

Решение. Подставляя координаты точки
в уравнение прямой, получаем:

.

Получили верное равенство, следовательно точка
принадлежит заданной прямой.

Подставляя координаты точки
в уравнение прямой, получаем:

.

Получили неверное равенство, следовательно точка
не принадлежит заданной прямой.

Прямая, проходящая через две данные точки

Применяя соотношение (1), легко решить следующую задачу: составить уравнение прямой,
которая проходит через две данные точки и
.

В аналитической геометрии доказано, что угловой коэффициент искомой прямой можно вычислить
по формуле
:

.   (3)

Нам остаётся лишь применять эту формулу.

Пример 4. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом,
если она проходит через точки и
.

Решение. По формуле (3) находим угловой коэффициент:

.

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Итак, получили уравнение вида (2).

Проверяем — подставляем координаты точек в полученное уравнение,
получаются верные равенства:

Прямая, проходящая через данную точку параллельно данной прямой

Для того, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно
данной прямой, следует использовать следующее условие параллельности прямых.

Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты
были равны.

Следовательно, эта задача просто обращается в задачу из примера 1.
В формулу (1) следует подставить угловой коэффициент заданной прямой.

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно прямой, проведённой
через две данные точки и
.

Решение. Используя условия параллельности прямых. Требуется сначала найти
угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C, а затем воспользоваться этим угловым
коэффициентом. Угловой коэффициент находим по формуле (3):

.

Угловой коэффициент искомой прямой также равен -5.

Теперь остаётся лишь составить уравнение прямой по угловому коэффициенту и точке, как
в примере 1:

Итак, получили уравнение вида (2).

Аналогично решается задача, если задано, что прямая перпендикулярна данной прямой.
Для её решения следует воспользоваться условием перпендикулярности прямых:

для перпендикулярности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы
их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Ссылка на основную публикацию